[NOIP2015]运输计划 题解

题目背景

公元 2044 年,人类进入了宇宙纪元。

题目描述

L 国有 n 个星球,还有 n-1 条双向航道,每条航道建立在两个星球之间,这 n-1 条

航道连通了 L 国的所有星球。

小 P 掌管一家物流公司,该公司有很多个运输计划,每个运输计划形如:有一艘物

流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi 号星球去。显然,飞船驶过一条航道 是需要时间的,对于航道 j,任意飞船驶过它所花费的时间为 tj,并且任意两艘飞船之 间不会产生任何干扰。

为了鼓励科技创新,L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设,即允许小 P 把某一条航道改造成虫洞,飞船驶过虫洞不消耗时间。

在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后, 这 m 个运输计划会同时开始,所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时,小 P 的 物流公司的阶段性工作就完成了。

如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞,试求出小 P 的物流公司完成阶段 性工作所需要的最短时间是多少?

$Solution:$

其实挺简单的……跟保卫王国什么的没法比……

题意就是给你几条树上路径，有一次删除边权的机会，最小化它们的最大长度。“最大值最小”显然二分啊。

考虑怎么check，首先如果二分出的$ans \ge $最长路径长度那么一定是合法的，不过没什么用，因为完全可以把二分右端点设为最长路径长度。

我们可以无视长度$\leq ans$的路径，那么接下来要做的，就是利用删除边权操作在答案中消去最长路径长度$-ans$这么大(设为w)的长度。在剩下的路径中，如果存在一条这些路径的公共边满足边权$\ge w$，就可以判定为合法的。

求路径的公共边可以转化为求树边覆盖次数，树上差分板子，注意对于边的差分是x++，y++，lca-=2。

然后路径长什么的直接lca求解即可。

由于它是一道有尊严的D2T3，所以肯定会防AK。卡一下二分左右边界可以苟过去= =。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define pa pair<int,int>
#define re register
using namespace std;

const int L=1<<20|1;
char buffer[L],*S,*T;
#define getchar() ((S==T&&(T=(S=buffer)+fread(buffer,1,L,stdin),S==T))?EOF:*S++)

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
const int N=3e5+5;
int n,m,to[N<<1],head[N],nxt[N<<1],tot,w[N<<1];
int size[N],son[N],top[N],fa[N],dep[N],dis[N];
pa p[N];
int D[N],_lca[N],dif[N],maxw;
inline void add(int x,int y,int z)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    w[tot]=z;
}
void dfs1(int x,int f)
{
    fa[x]=f;dep[x]=dep[f]+1;size[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==f)continue;
        dis[y]=dis[x]+w[i];
        dfs1(y,x);
        size[x]+=size[y];
        if(size[y]>size[son[x]])son[x]=y;
    }
}
void dfs2(int x,int Top)
{
    top[x]=Top;
    if(son[x])dfs2(son[x],Top);
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(top[y])continue;
        dfs2(y,y);
    }
}
inline int lca(int x,int y)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    return x;
}
void dfs(int x)
{
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==fa[x])continue;
        dfs(y);
        dif[x]+=dif[y];
    }
}
bool judge(int x,int cnt,int len)
{
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==fa[x])continue;
        if(dif[y]==cnt&&w[i]>=len)return 1;
        if(judge(y,cnt,len))return 1;
    }
    return 0;
}

inline bool check(int val)
{
    if(maxw<=val)return 1;
    for(re int i=1;i<=n;i++)dif[i]=0;
    int cnt=0;
    for(re int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(D[i]<=val)continue;
        cnt++;
        dif[p[i].first]++;dif[p[i].second]++;
        dif[_lca[i]]-=2;
    }
    dfs(1);
    return judge(1,cnt,maxw-val);
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    int maxe=0;
    for(re int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        add(x,y,z);add(y,x,z);
        maxe=max(maxe,z);
    }
    dfs1(1,0);dfs2(1,1);

    for(re int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),LCA=lca(x,y);
        p[i]=make_pair(x,y);
        D[i]=dis[x]+dis[y]-2*dis[LCA];
        maxw=max(maxw,D[i]);
        _lca[i]=LCA;
    }
    int l=maxw-maxe,r=maxw,ans=r;
    while(l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid))ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}