HDU 6616 Divide the Stones

题面

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Special judge Yes

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目录

• 题面
• 中文题意
• 比赛惨状
• 我的走不通的思路
  • $m$是偶数的情况
  • $m$是奇数的情况
    • k是偶数
    • k是奇数
      • 幻方的思路(想复杂了还走不通)
• 题解的思路
• 另一些思路
• 源代码

中文题意

把\(n\)块石头分成\(k\)堆，要求每堆石头的重量之和相等。输出是否可以实现要求。如果可以实现，还要输出每堆石头里每一块石头的重量

比赛惨状

赛场上看见的第一反应——dp？不会。然后就先扔给有点思路队友，写另一道主席树（这题）去了。主席树写到一半，想起来题目里有个条件，k是n的因子，然后想到\(\frac{n}{k}\)是整数，然后想到幻方，于是和刚这题的队友说了一下可以往幻方的方向思考一下，然后队友表示没有听说过幻方，于是我接着TLE我的主席树，直到结束也没A，两个队友刚的另外两题也没刚出来，包括这题。最后两题惨淡收场。

比赛结束后补题，补分解质因数这题的队友发现，有个循环变量\(i\)有个地方忘记加一了……我听着其他队说主席树那题的解法，直骂自己蠢，被最多\(169\)的\(k\)骗了。

我的走不通的思路

我们先令\(m=\frac{n}{k}\)。这里有一个结论（貌似这题的解法可以当做这个结论的构造性的证明？）——对于这个分石头的问题，如果石头总重量能被k整除，即每一堆石头重量都是整数，\(k|\frac{(1+n)\times n}{2}\)，那么一定存在一个解，使得这\(k\)堆石头，每堆石头都是\(m\)块。

应用这个结论，题意就变成了，让我们把\(1\)~\(n\)总共\(n\)个数字填入\(k\)行\(m\)列的矩阵中，使得矩阵每一行之和相等。

设每一堆石头重量\(w=\frac{(1+n)\times n}{2k}=\frac{(1+n)\times m}{2}\)。

\(m\)是偶数的情况

此时\(n\)是偶数，那么\(1\)~\(n\)可以两两配对成\(\frac{n}{2}\)对重量为\(n+1\)的石头对。那么我们就可以把这些石头对两个两个地放进矩阵，填完一行填下一行，填满\(k\)行就完事了。为了更方便地用代码实现，我们可以蛇形填数字，像下面这样——

1	8	9	16
2	7	10	15
3	6	11	14
4	5	12	13

\(m\)是奇数的情况

k是偶数

由于\(k\times m=n\)，则\(n\)是偶数，\((n+1)\)是奇数，\(w=\frac{(1+n)\times m}{2}\)，由于\(m\)也是奇数，所以每堆石头重量不是整数，无解。

k是奇数

则\(w=\frac{(1+n)\times m}{2}\)是整数（\(n+1\)是偶数），由上文的结论可知，这是有解的。

幻方的思路(想复杂了还走不通)

• 如果\(m\geqslant k\)，就是矩阵在横着的方向更长的情况，那么可以把前\(k\times k\)个数字按照奇数阶幻方的方式填入矩阵左边\(k\times k\)的部分。剩下\((n-k\times k)\)个石头数量是偶数，要填入矩阵右边\(k\)行\(m-k\)列，而\(m-k\)是偶数（奇数减奇数等于偶数），于是问题转化为\(m\)是偶数的情况，蛇形填就好。

• 如果\(m\leqslant k\)，就是矩阵竖着的方向更长的情况，先说我xjb搞出来的结论——使用幻方无解。下面的推导感觉价值不大

  先摸索一番，如果是像上一种情况，把前\(m\times m\)个数字填进矩阵上方部分，那么剩下的数字都大于上方用过的\(m^2\)个，产生的石头堆超重了。于是想着调整一下，求出幻方以后，将幻方内的数字全部增加一个固定的数，使得幻方内数字的值域正好在\([1,n]\)的正中间，那么填完幻方剩下的数字就可以两两配对了。这就差不多转化成了\(m\)是奇数、\(k\)是偶数的情况。下面的推导十分不严谨，漏洞百出……先留坑，以后完善一下吧。

  但和\(m\)是奇数、\(k\)是偶数的情况有点区别，这里的总和不是\(\frac{(1+n)\times n}{2}\)，有\(\frac{n-m^2}{2}\)个数字增大了\((m^2+\frac{n-m^2}{2})\)，所以剩下的数字总和变成了$$\frac{(1+n)\times n}{2}+\frac{n-m^2}{2}\times (m^2+\frac{n-m2}{2})$$

  \[=\frac{(1+n)\times n}{2}+\frac{n-m^2}{2}\times \frac{n+m^2}{2}
  \]
  \[=\frac{2n+3n^2-m^2}{4}
  \]

  现在我们的目的是，把这\(n-m^2\)个数字分成\(k-m\)行，每行数字之和相等。那么每行的数字之和应该是

  \[w=\frac{2n+3n^2-m^2}{4(k-m)}
  \]

  将\(k=\frac{n}{m}\)代入，整理 不想整理了 可得

  \[w=\frac{2nm+3n^2m-m^3}{4n-4m^2}
  \]

  如果能实现要求，那么\(w\)还应该满足最基本的条件\(w=\frac{(1+n)\times m}{2}\)。于是把这两个联立起来试试（开始xjb搞，各种不严谨）

  \[\frac{2nm+3n^2m-m^3}{4n-4m^2}=\frac{(1+n)\times m}{2}
  \]

  整理得

  \[2nm+3n^2m-m^3==2nm-2m^3+2n^2m-2nm^3
  \]
  \[n^2==-m^2-2nm^2
  \]

  因为\(n\)和\(m\)都是正数，所以上式不成立。所以这种情况使用幻方无解。

题解的思路

先把\(m=1\)的情况特判了。

对于\(m\)是偶数的情况，可以用我上面那个蛇形填的办法。

对于\(m\)是奇数的情况，题解的做法有点玄学，还没仔细证明过——

• 首先把矩阵的最左边三列用\([1,3k]\)这些数填满
• 然后留下的右边部分就转化成了\(m\)是偶数的情况，蛇形填。

看不懂题解，最大的问题在于，左边这三列怎么填……题解也不说，咱也没机会问。

查了其他很多人的博客，他们都把这步一笔带过了……于是把代码复制下来，手动输入数据，看输出找规律。规律是挺明显的——

5行的情况

1	8	15
2	10	12
3	7	14
4	9	11
5	6	13

7行的情况

1	11	21
2	14	17
3	10	20
4	13	16
5	9	19
6	12	15
7	8	18

第一列顺着写下来，第二列和第三列从下到上，步长为2。还没想过为啥这是对的……先留坑

另一些思路

来自集训队队长的博客

源代码

这个是题解的思路

#include<queue>
#include<cstdio>

int T;
long long n, k;
std::queue<int> ma[100010];
int main()
{
    // freopen("test.in","r",stdin);
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld", &n, &k);
        long long sum=(1+n)*n>>1;
        if(k!=1&&k==n||sum%k)
        {
            puts("no");
            continue;
        }
        puts("yes");
        for(int i=1;i<=k;i++)
            while(!ma[i].empty()) ma[i].pop();
        long long m=n/k;
        if(m&1)//m为奇数
        {
            for(int i=1;i<=k;i++) ma[i].push(i);
            int id=k+1,row=k;
            for(;id<=3*k&&id<=n;id++,row-=2)//前3列
            {
                while(row<1) row+=k;
                ma[row].push(id);
                if(id%k==0) row--;
            }
            int delta=1;
            for(row=1;id<=n;id++)//后面的蛇形填
            {
                if(row<1)
                {
                    row=1;delta=1;
                }
                else if(row>k)
                {
                    row=k;
                    delta=-1;
                }
                ma[row].push(id);
                row+=delta;
            }
        }
        else//整个蛇形填
        {
            int delta=1,row=1;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(row<1)
                {
                    row=1;
                    delta=1;
                }
                else if(row>k)
                {
                    row=k;
                    delta=-1;
                }
                ma[row].push(i);
                row+=delta;
            }
        }
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            while(!ma[i].empty())
            {
                printf("%d ",ma[i].front());//还好不卡行末空格
                ma[i].pop();
            }
            puts("");
        }
    }
    return 0;
}