【BZOJ2510】弱题
题目大意
有\(M\)个球,一开始每个球均有一个初始标号,标号范围为\(1-N\)且为整数,标号为i的球有\(a_i\)个,并保证\(\sum a_i=M\)。
每次操作等概率取出一个球(即取出每个球的概率均为\(1/M\)),若这个球标号为\(k(k < N)\),则将它重新标号为\(k + 1\);若这个球标号为\(N\),则将其重标号为\(1\)。(取出球后并不将其丢弃)
现在你需要求出,经过K次这样的操作后,每个标号的球的期望个数。
\(N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647\)
题目分析
递推方程很好想,但是需要优化。
由于\(K\)很大,考虑使用矩阵乘法优化\(dp\)。但是\(n\)的范围太大,不能直接化出矩阵来相乘。通过观察矩阵,我们很容易发现矩阵的每一行之间是循环的,因此,我们可以只算一行即可,矩阵相乘的时间负责度瞬间降低为\(O(n^2)\),矩阵快速幂优化后总时间复杂为\(O(n^2log_2 n)\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k;
namespace Task1{
double p[2][1005];
void solve(){
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[0][i]);
int cur=0,pre;
for(int i=1;i<=k;i++){
pre=cur;cur^=1;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(j==1)p[cur][j]=p[pre][j]+p[pre][n]/m-p[pre][j]/m;
else if(j==n)p[cur][j]=p[pre][j]+p[pre][j-1]/m-p[pre][j]/m;
else p[cur][j]=p[pre][j]+p[pre][j-1]/m-p[pre][j]/m;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)cout<<fixed<<setprecision(3)<<p[cur][i]<<"\n";
}
}
namespace Task2{
double tmp[1005][1005];
struct node{
double a[1005];
node(){memset(a,0,sizeof(a));}
double&operator[](int x){return a[x];}
node operator*(node &b){
node c;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++){
int pos=i+j-1;
if(pos>n)pos-=n;
tmp[j][pos]=b[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
c[i]+=a[j]*tmp[j][i];
return c;
}
node operator^(int cnt){
node ret,mul=*this;
bool flag=0;
for(;cnt;cnt>>=1,mul=mul*mul)if(cnt&1){if(!flag)ret=mul,flag=1;else ret=ret*mul;}
return ret;
}
}p;
void solve(){
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
node mul;
mul[1]=(m-1)/double(m);
mul[2]=1.0/m;
mul=mul^k;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++){
int pos=i+j-1;
if(pos>n)pos-=n;
tmp[j][pos]=mul[i];
}
node ans;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
ans[i]+=p[j]*tmp[j][i];
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.3lf\n",ans[i]);
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
if(1ll*n*k<=5e7)Task1::solve();
else Task2::solve();
}
/*
[(m-1)/m,1/m,0,0,0]
[0,(m-1)/m,1/m,0,0]
[0,0,(m-1)/m,1/m,0]
[0,0,0,(m-1)/m,1/m]
[1/m,0,0,0,(m-1)/m]
[a1,a2,a3] [a1,a2,a3] [a1*a1+a2*a3+a3*a2,a1*a2+a2*a1+a3*a3,a1*a3+a2*a2+a3*a1]
[a3,a1,a2]*[a3,a1,a2]=[a3*a1+a1*a3+a2*a2,......
[a2,a3,a1] [a2,a3,a1] [......
[a1,a2,a3] [b1,b2,b3] [a1*b1+a2*b3+a3*b2,a1*b2+a2*b1+a3*b3,a1*b3+a2*b2+a3*b1]
[a3,a1,a2]*[b3,b1,b2]=[a3*b1+a1*b3+a2*b2,......
[a2,a3,a1] [b2,b3,b1] [......
[a1,a2,a3]*[b1,b2,b3]=>[a1*b1+a2*b3+a3*b2,a1*b2+a2*b1+a3*b3,a1*b3+a2*b2+a3*b1]
*/
【BZOJ2510】弱题的更多相关文章
- Bzoj2510 弱题(矩阵快速幂)
题面(权限题) 题解 一道概率\(dp\),可以设\(f[i][j]\)表示第\(i\)次操作后,标号为\(j\)的小球的期望个数,那么有: \[ \begin{aligned} &f[i][ ...
- BZOJ2510: 弱题
求k时刻一个标号转移到各位置的概率,最后枚举每个标号加权求期望.可以发现转移矩阵是循环矩阵,因此乘法是n^2的.另外这个乘法是圆周卷积的形式,然后就作死写了发fft,发现精度升天了= = #inclu ...
- 2018.09.27 bzoj2510: 弱题(概率dp+循环矩阵优化)
传送门 简单概率dp. 显然每次转移的式子可以用一个矩阵表示出来: 这个是循环矩阵. 因此只用维护第一行快速幂一波就行了. 代码: #include<bits/stdc++.h> #def ...
- [bzoj2510]弱题 (循环矩阵优化dp)
Description 有M个球,一开始每个球均有一个初始标号,标号范围为1-N且为整数,标号为i的球有ai个,并保证Σai = M. 每次操作等概率取出一个球(即取出每个球的概率均为1/M),若这个 ...
- 【BZOJ2510】弱题 期望DP+循环矩阵乘法
[BZOJ2510]弱题 Description 有M个球,一开始每个球均有一个初始标号,标号范围为1-N且为整数,标号为i的球有ai个,并保证Σai = M. 每次操作等概率取出一个球(即取出每个球 ...
- 「BZOJ2510」弱题
「BZOJ2510」弱题 这题的dp式子应该挺好写的,我是不会告诉你我开始写错了的,设f[i][j]为操作前i次,取到j小球的期望个数(第一维这么大显然不可做),那么 f[i][j]=f[i-1][j ...
- bzoj 2510: 弱题 循环矩阵
2510: 弱题 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 124 Solved: 61[Submit][Status][Discuss] De ...
- BZOJ 2510: 弱题( 矩阵快速幂 )
每进行一次, 编号为x的数对x, 和(x+1)%N都有贡献 用矩阵快速幂, O(N3logK). 注意到是循环矩阵, 可以把矩阵乘法的复杂度降到O(N2). 所以总复杂度就是O(N2logK) --- ...
- [BZOJ 2510]弱题
2510: 弱题 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 419 Solved: 226[Submit][Status][Discuss] D ...
- 【BZOJ 2510】 2510: 弱题 (矩阵乘法、循环矩阵的矩阵乘法)
2510: 弱题 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 374 Solved: 196 Description 有M个球,一开始每个球均有一 ...
随机推荐
- java se系列(三) 顺序语句、if...else、switch、While、do-while、for、break、continue
1 顺序语句 语句:使用分号分隔的代码称作为一个语句. 注意:没有写任何代码只是一个分号的时候,也是一条语句,称作空语句. 顺序语句就是按照从上往下的顺序执行的语句. 2 判断(if…else) 什么 ...
- MAC 下 STF 的环境搭建和运行
STF --WEB 端批量移动设备管理控制工具 安装各种包 (首先安装Macport,因为后面需要用到port:http://www.ccvita.com/434.html) linux的基本包安装, ...
- Single Vendor Project in OpenStack
1.astara: ptl: name: Ryan Petrello irc: ryanpetrello email: ryan.petrello@dreamhost.com irc-channel: ...
- DotNetCore跨平台~xUnit和测试报告
在进入dotnet core时代之后,测试驱动开发TDD的主要工具不再是微软的nunit,取而代之的是更通用的xunit,微软把它集成到了dotnetcore的项目里,在安装完成vs2017之后,你可 ...
- TOJ 2641 Gene
描述 How can millions of different and complex structures be built using only a few simple building bl ...
- word 摘要
word 使用心得 定义快捷键 Tools -> Customize keyboard 自定义快捷键 cmd + L, 左对齐; cmd + R, 右对齐; cmd + E, 居中对齐 cmd ...
- ul+js模拟select
html css .select_box{ float: left; } .select_box input{ width: 160px; height: 30px; text-align: ce ...
- vue分页
1.依赖文件 <link href="/css/index.css" rel="stylesheet" type="text/css" ...
- Python爬虫《爬取get请求的页面数据》
一.urllib库 urllib是Python自带的一个用于爬虫的库,其主要作用就是可以通过代码模拟浏览器发送请求.其常被用到的子模块在Python3中的为urllib.request和urllib. ...
- Angular选项卡
前几天我发的东西,可能对于没有基础的人很难理解,那么今天,咱们就发点简单点的东西吧! Angular显示隐藏,选项卡! 还是那句话,话不多说,上代码: <!DOCTYPE html> &l ...