leetcode:Median of Two Sorted Arrays分析和实现

这个问题的大意是提供两个有序的整数数组A与B，A与B并集的中间数。[1,3]与[2]的中间数为2，因为2能将A与B交集均分。而[1,3]与[2,4]的中间数为2.5，取2与3的平均值。故偶数数目的中间值与奇数数目的中间值的算法不同。这个问题要求时间复杂度不超过O(log(n+m))，其中n与m分别为A与B的长度。

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对于这个问题，我一开始的想法是同时对两个集合用二分查找法，这样每次过程都能有效减少一部分的冗余数据，且这样的算法的时间复杂度为O(log(n)+log(m))=O(log(max(n,m))=O(log(n+m))。

但是在这个问题的解答区看到了一个更优的解决方案。

https://discuss.leetcode.com/topic/4996/share-my-o-log-min-m-n-solution-with-explanation

其优化的方案是明确了一个有用的想法。我们可以找到一个切割点i与j，将A与B做如下切分：

A[0], ..., A[i-1] | A[i], ..., A[n - 1]，

B[0], ..., B[j-1] | B[j], ..., B[m - 1]

如果i'与j'能够满足下面条件，那么就能将A与B的并均分为A[0], ..., A[i'-1], B[0], ..., B[j'-1]与A[i'], ..., A[n - 1], B[j'], ..., B[m - 1]，且前者中所有元素都不大于后者的任意元素。

1.i'+j' = n-i'+m-j' -> 2i+2j'=n + m (保证两个集合拥有等量数值)

2.not (i'-1>=0 and j'<m and A[i'-1]>B[j]) (保证A[0], ..., A[i'-1]中所有元素都小于B[j'], ..., B[m - 1])

3.not (j'-1>=0 and i'<n and B[j'-1]>A[i]) (保证B[0], ..., B[j'-1]中所有元素都小于A[i'], ..., A[n - 1])

上面需要对i'与j'的范围做校验是因为可能存在空集（比如当i=0时，{A[0],..., A[i-1]}表示一个空集），空集应该满足所有的比较关系，因为它不包含任何元素，我们自然可以对其所有元素做任意假定。

由条件1可以看出，可能符合条件的j可以由i唯一确定。不妨设n<m（不然可以在开始时交换二者引用）,那么利用二分查找法可以保证只做log(n)次循环就可以得到正确的i与j，而每次循环只需要花费常量时间，故这样一个算法的复杂度就称为了O(log(A.length))=O(log(min(n,m))。

这里可以使用二分查找法的原因是，若存在i，j满足条件1，但是不满足条件2(或条件3)，那么正确的切割i’<i(或i'>i)，这是因为当i增大时，j就会相对减小，而若i'>i,会致使A[i'-1]>=A[i-1]>B[j]>=B[j']，故条件2依旧不成立，因此正确的切割i’<i(或i'>i)。

lb = 0, rb = n

while lb <= rb then

　　i = (lb + rb) / 2

　　j = (n + m) / 2 - i //条件1

　　if i - 1 >= 0 and j < m and A[i-1] > B[j] then //条件2

　　　　rb = i

　　else if j-1 >= 0 and i < n and B[j-1] > A[i] then //条件3

　　　　lb = i + 1

　　else

　　　　i' = i, j' = j

　　　　break

一但我们得到了i'与j'，那么就可以轻易的计算中间数，中间数应该是(max(A[0], ..., A[i'-1], B[0], ..., B[j'-1])+min(A[i'], ..., A[n - 1], B[j'], ..., B[m - 1])) / 2，这条式子等价与(max(A[i'-1], B[j'-1])+min(A[i'], B[j'])) / 2。

上面只给出了当n+m为偶数时的解决方案，而对于n+m为奇数时可以将j = (n + m) / 2 - i替换为j = (n + m + 1) / 2 - i，即将中间值保存在A[0], ..., A[i'-1], B[0], ..., B[j'-1]中。最后的结果应该为max(A[i'-1], B[j'-1])。

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最后给出java代码，有需要的人可以看看

package cn.dalt.leetcode;

/** * Created by dalt on 2017/6/4. */public class MedianOfTwoSortedArrays2 {    public static void main(String[] args) {        int[] nums1 = new int[]{1};        int[] nums2 = new int[]{2, 3, 4};        System.out.println(new MedianOfTwoSortedArrays2().findMedianSortedArrays(nums1, nums2));    }

    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {        if (nums1.length > nums2.length) {            int[] temp = nums1;            nums1 = nums2;            nums2 = temp;        }

        int len1 = nums1.length;        int len2 = nums2.length;        int totalLength = len1 + len2;        int halfLength = totalLength >> 1;        int offset = totalLength & 1;        int lbound = 0;        int rbound = nums1.length;        while (lbound <= rbound) {            int i = (lbound + rbound) >> 1;            int j = ((len1 + len2 + offset) >> 1) - i;            if (j < len2 && i > 0 && nums1[i - 1] > nums2[j]) {                rbound = i;            } else if (j > 0 && i < len1 && nums2[j - 1] > nums1[i]) {                lbound = i + 1;            } else {                int smallmid = i <= 0 ? nums2[j - 1] : j <= 0 ? nums1[i - 1] : Math.max(nums1[i - 1], nums2[j - 1]);                if (offset == 0) {                    int largermid = i >= len1 ? nums2[j] : j >= len2 ? nums1[i] : Math.min(nums1[i], nums2[j]);                    return (smallmid + largermid) / 2.0;                }                return smallmid;            }        }        return -1;    }}