可持久化线段树（主席树）（图文并茂详解）【poj2104】【区间第k大】

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向大(hei)佬(e)实力学(di)习(tou)

主席树主要用于处理区间的问题，其中区间不一定是单纯的区间，还是可以将题目中的一些信息转化一下（如 操作、时间等），即需要查询区间信息的数据，还需要用线段树用的题目，就可以用主席树。

以前有畏难心理，总觉得主席树好复杂，各种逃避。后来再次学习，总算是学会了基础的东西。

主席树通常是前缀和和线段树的结合，下面以一道经典题：区间第k大 为例

第k大，想到用值域线段树。区间可以转化为前缀，相减即可。即对每一个前缀节点建线段树，但如果暴力建，就完蛋了（^10），完美爆空间

仔细一想，每一个线段树和前一个相比，其实只修改了一个点。我们只需要新建树根到新增叶子节点路径上的点就可以了，其他的指向前一棵树的对应位置

放一张图来理解的更直观一些（灰色格子是虚点）



由此可见，空间复杂度为n*logn，可以接受

建树代码

void insert(Node *&ndn,Node *ndp,int le,int ri,int pos){//ndn当前的节点,注意要加&修改.ndp前一个节点，同步
    ndn=newnode();
    ndn->sum=ndp->sum+1;
    if(le==ri) return ;
    ndn->ls=ndp->ls,ndn->rs=ndp->rs;
    int mid=(le+ri)>>1;
    if(pos<=mid) insert(ndn->ls,ndp->ls,le,mid,pos);
    else insert(ndn->rs,ndp->rs,mid+1,ri,pos);
}

这里有一个小技巧。因为指针常常指出去，就RE了，为了避免这一点以及不需要对root[0]先花2*n的空间建空树，我们这里用一个null的自环来表示空节点。妈妈再也不用担心我的指针写挂啦~(≧▽≦)/~

struct Node{
    Node *ls,*rs;
    int sum;
}*root[N],*null,pool[N*50],*tail=pool;
int main(){
    null=++tail;
    null->ls=null->rs=null;
    null->sum=0;
    root[0]=null;
}

然后就是查询，其实很简单，就像普通的值域线段树和前缀和区间查询就可以了

int query(Node *ndn,Node *ndp,int le,int ri,int pos){
    if(le==ri) return le;
    int lsum=ndn->ls->sum - ndp->ls->sum;//前缀和
    int mid=(le+ri)>>1;
    if(pos<=lsum) return query(ndn->ls,ndp->ls,le,mid,pos);
    else return query(ndn->rs,ndp->rs,mid+1,ri,pos-lsum);
}

关键就解决了，至于区间第k大的题需要离散化，就不赘述了

完整代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=100000+5;
const int oo=1000000000+7;

struct Node{
    Node *ls,*rs;
    int sum;
}*root[N],*null,pool[N*50],*tail=pool;
struct aa{
    int nu,val;
}hh[N];
int n,m,rank[N];

bool cmp1(aa a,aa b){
    return a.val<b.val;
}
bool cmp2(aa a,aa b){
    return a.nu<b.nu;
}
Node *newnode(){
    Node *rt=++tail;
    rt->ls=rt->rs=null;
    rt->sum=0;
    return rt;
}
void insert(Node *&ndn,Node *ndp,int le,int ri,int pos){
    ndn=newnode();
    ndn->sum=ndp->sum+1;
    if(le==ri) return ;
    ndn->ls=ndp->ls,ndn->rs=ndp->rs;
    int mid=(le+ri)>>1;
    if(pos<=mid) insert(ndn->ls,ndp->ls,le,mid,pos);
    else insert(ndn->rs,ndp->rs,mid+1,ri,pos);
}
int query(Node *ndn,Node *ndp,int le,int ri,int pos){
    if(le==ri) return le;
    int lsum=ndn->ls->sum - ndp->ls->sum;
    int mid=(le+ri)>>1;
    if(pos<=lsum) return query(ndn->ls,ndp->ls,le,mid,pos);
    else return query(ndn->rs,ndp->rs,mid+1,ri,pos-lsum);
}
int main(){
    null=++tail;
    null->ls=null->rs=null;
    null->sum=0;
    root[0]=null;

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&hh[i].val);
        hh[i].nu=i;
    }
    sort(hh+1,hh+n+1,cmp1);
    int sz=0,tmp=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(tmp!=hh[i].val){
            sz++;tmp=hh[i].val;
            rank[sz]=tmp;hh[i].val=sz;
        }
        else hh[i].val=sz;
    }
    sort(hh+1,hh+n+1,cmp2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        insert(root[i],root[i-1],1,sz,hh[i].val);
    int x,y,k;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
        printf("%d\n",rank[query(root[y],root[x-1],1,sz,k)]);
    }
    return 0;
}

当然，主席树不只可以解决区间第k大的问题，灵活的变形后还可以解决不少问题。前段时间考了一套大佬的自编题，第一题就是变型的主席树，附上链接：

http://blog.csdn.net/coco56181712/article/details/75647313