[BZOJ3277/BZOJ3473] 串 - 后缀数组,二分,双指针,ST表,均摊分析

[BZOJ3277] 串

Description

现在给定你n个字符串，询问每个字符串有多少子串（不包括空串）是所有n个字符串中至少k个字符串的子串（注意包括本身）。

Solution

首先将所有串连接起来，预处理出后缀数组和高度数组。

显然直接主席树可以很容易做到 \(O(n \log^2 n)\) 。对于每一个后缀的位置，二分一个 LCP 长度，找到这个 LCP 长度对应的区间，检查这个区间是否合法来调节二分边界。

注意在这个做法里，瓶颈不在于主席树，因为主席树的功能完全可以用双指针预处理一个数组来替代。瓶颈在于，实质上使用了一个二分套二分的做法。

但我们有更好的做法。

引理：按照原始顺序，如果第 \(i\) 个后缀有 \(x\) 个前缀能被 \(k\) 个串包含，那么第 \(i+1\) 个后缀至少有 \(x-1\) 个前缀能被 \(k\) 个串包含。

那么我们先用双指针预处理 \(jmp[i]\) 代表按照后缀排序，最大的 \(j\) 使得 \([j,i]\) 这个后缀区间合法。

到第 \(i\) 个后缀的时候我们就从后缀 \(i-1\) 的答案开始向上枚举，用二分+ST表找出它左右边第一个高度比当前枚举值小的位置，判断这个区间的合法性来决定是否继续枚举，均摊时间复杂度 \(O(nlogn)\) 。

\(O(\log n)\) 解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 400005;

int n,m=N/2,sa[N],y[N],u[N],v[N],o[N],r[N],h[N],T,nstr,k;
int str[N],Log2[N],bel[N],buf[N],bcnt,jmp[N],mx[N],ans[N],tow[N];
char tstr[N];

struct St {
    int a[N][21];
    void build(int *src,int n) {
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i][0]=src[i];
        for(int i=1;i<=20;i++)
            for(int j=1;j<=n-(1<<i)+1;j++)
                a[j][i]=min(a[j][i-1],a[j+(1<<(i-1))][i-1]);
    }
    int query(int l,int r) {
        if(l>r) return 0;
        int j=Log2[r-l+1];
        return min(a[l][j],a[r-(1<<j)+1][j]);
    }
} st;

int lbound(int cen,int val) {
    int l=1,r=cen;
    while(r>l) {
        int mid=(l+r)/2;
        if(st.query(mid+1,cen)>=val) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return l;
}

int rbound(int cen,int val) {
    int l=cen+1,r=n+1;
    while(r>l) {
        int mid=(l+r)/2;
        if(st.query(cen+1,mid)>=val) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    return l-1;
}

signed main(){
    for(int i=1;i<=200000;i++) Log2[i]=log2(i);
    scanf("%lld%lld",&nstr,&k);
    for(int i=1;i<=nstr;i++) {
        scanf("%s",tstr);
        int len=strlen(tstr);
        for(int j=0;j<len;j++) str[j+n+1]=tstr[j],bel[j+n+1]=i,tow[j+n+1]=n+len;
        n+=len+1;
        str[n]=127+i;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++) u[str[i]]++;
    for(int i=1;i<=m;i++) u[i]+=u[i-1];
    for(int i=n;i>=1;i--) sa[u[str[i]]--]=i;
    r[sa[1]]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) r[sa[i]]=r[sa[i-1]]+(str[sa[i]]!=str[sa[i-1]]);

    for(int l=1;r[sa[n]]<n;l<<=1) {
        memset(u,0,sizeof u);
        memset(v,0,sizeof v);
        memcpy(o,r,sizeof r);
        for(int i=1;i<=n;i++) u[r[i]]++, v[r[i+l]]++;
        for(int i=1;i<=n;i++) u[i]+=u[i-1], v[i]+=v[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--) y[v[r[i+l]]--]=i;
        for(int i=n;i>=1;i--) sa[u[r[y[i]]]--]=y[i];
        r[sa[1]]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++) r[sa[i]]=r[sa[i-1]]+((o[sa[i]]!=o[sa[i-1]])||(o[sa[i]+l]!=o[sa[i-1]+l]));
    }
    {
        int i,j,k=0;
        for(int i=1;i<=n;h[r[i++]]=k)
            for(k?k--:0,j=sa[r[i]-1];str[i+k]==str[j+k];k++);
    }

    st.build(h,n);

    bcnt=1;
    buf[bel[sa[n]]]++;
    for(int i=n,j=n;i>=1;--i) {
        while(bcnt<k && j>0) {
            --j;
            if(buf[bel[sa[j]]]==0) ++bcnt;
            buf[bel[sa[j]]]++;
        }
        jmp[i]=j;
        if(buf[bel[sa[i]]]==1) --bcnt;
        buf[bel[sa[i]]]--;
    }
   // for(int i=1;i<=n;i++) cout<<jmp[i]<<" "; cout<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=max(1ll,mx[i-1]);j<=n;j++) {
            int lb=lbound(r[i],j), rb=rbound(r[i],j);
            //cout<<i<<" "<<r[i]<<" "<<j<<" "<<lb<<" "<<rb<<endl;
            if(jmp[rb]<lb || j>tow[i]-i+1) {
                mx[i]=j-1;
                break;
            }
        }
    }
    //for(int i=1;i<=n;i++) cout<<mx[i]<<" ";
    //cout<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        ans[bel[i]]+=mx[i];
    }
    for(int i=1;i<=nstr;i++) printf("%lld ",ans[i]);
}

\(O(\log^2 n)\) 解法 (TLE)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 400005;

int n,m=N/2,sa[N],y[N],u[N],v[N],o[N],r[N],h[N],jmp[N],buf[N],bel[N],bcnt;
int nstr,k;
int str[N],ans[N],tow[N],LOG2[N];
char tstr[N];

struct St {
    int a[N][21];
    void build(int *src,int n) {
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i][0]=src[i];
        for(int i=1;i<=20;i++)
            for(int j=1;j<=n-(1<<i)+1;j++)
                a[j][i]=min(a[j][i-1],a[j+(1<<(i-1))][i-1]);
    }
    int query(int l,int r) {
        if(l>r) return 0;
        int j=LOG2[r-l+1];
        return min(a[l][j],a[r-(1<<j)+1][j]);
    }
} st;

int lbound(int cen,int val) {
    int l=1,r=cen;
    while(r-l) {
        int mid=(l+r)/2;
        if(st.query(mid+1,cen)>=val) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return l;
}

int rbound(int cen,int val) {
    int l=cen+1,r=n+1;
    while(r-l) {
        int mid=(l+r)/2;
        if(st.query(cen+1,mid)>=val) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    return l-1;
}

signed main(){
    for(int i=1;i<=200000;i++) LOG2[i]=log2(i);
    scanf("%d%d",&nstr,&k);
    for(int i=1;i<=nstr;i++) {
        scanf("%s",tstr);
        int tstrlength = strlen(tstr);
        for(int j=0;j<tstrlength;j++)
            str[n+j+1]=tstr[j],bel[n+j+1]=i,tow[n+j+1]=n+tstrlength;
        n+=tstrlength+1;
        str[n]=127+i;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++) u[str[i]]++;
    for(int i=1;i<=m;i++) u[i]+=u[i-1];
    for(int i=n;i>=1;i--) sa[u[str[i]]--]=i;
    r[sa[1]]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) r[sa[i]]=r[sa[i-1]]+(str[sa[i]]!=str[sa[i-1]]);

    for(int l=1;r[sa[n]]<n;l<<=1) {
        memset(u,0,sizeof u);
        memset(v,0,sizeof v);
        memcpy(o,r,sizeof r);
        for(int i=1;i<=n;i++) u[r[i]]++, v[r[i+l]]++;
        for(int i=1;i<=n;i++) u[i]+=u[i-1], v[i]+=v[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--) y[v[r[i+l]]--]=i;
        for(int i=n;i>=1;i--) sa[u[r[y[i]]]--]=y[i];
        r[sa[1]]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++) r[sa[i]]=r[sa[i-1]]+((o[sa[i]]!=o[sa[i-1]])||(o[sa[i]+l]!=o[sa[i-1]+l]));
    }
    {
        int i,j,k=0;
        for(int i=1;i<=n;h[r[i++]]=k)
            for(k?k--:0,j=sa[r[i]-1];str[i+k]==str[j+k];k++);
    }
    st.build(h,n);
    buf[bel[sa[n]]]=1; bcnt++;
    for(int i=n,j=n;i>=1;--i) {
        while(bcnt<k && j>0) {
            --j;
            if(buf[bel[sa[j]]]==0) bcnt++;
            buf[bel[sa[j]]]++;
        }
        jmp[i]=j;
        buf[bel[sa[i]]]--;
        if(buf[bel[sa[i]]]==0) bcnt--;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int l=1,r=tow[sa[i]]-sa[i]+2;
        while(r>l) {
            int mid=(l+r)/2;
            int lb=lbound(i,mid),rb=rbound(i,mid);
            if(jmp[rb]>=lb) l=mid+1;
            else r=mid;
        }
        //cout<<i<<" "<<l-1<<endl;
        ans[bel[sa[i]]]+=l-1;
    }
    for(int i=1;i<=nstr;i++) printf("%lld ",ans[i]);
}