【NOI2019模拟2019.7.1】为了部落 （生成森林计数，动态规划）

Description：

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\(1<=n<=1e9,1<=m,k<=100\)

模数不是质数。

题解：

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先选m个点，最后答案乘上\(C_{n}^m\)。

不妨枚举m个点的度数和D，那么我们需要解决两个问题：

1. 一共m个有标号盒子，D个有标号小球放到盒子里，且每个盒子的球数不超过k的方案数。
2. n-m个有标号点的D棵有根树的森林划分

Task1：

事实上这个东西可以直接NTT卷起来，效率应该是最高的，但是因为模数不是质数，所以不行。

设\(f[i][j]\)表示i个盒子，j个小球的方案数。

不难得到一个容斥的转移：

\(f[i][j]=f[i][j-1]*i-f[i-1[j-(k+1)]*i*C_{j-1}^k\)

组合数直接杨辉三角预处理。

复杂度：\(O(m^2k)\)

Task2：

利用扩展Cayley公式：

n个点，m棵树，且1-m的点在不同的树里的方案数：

拓展prufer序列的定义，现在是取出森林中最大的叶子，输出与它相邻的点，删掉它，直到剩下1..m

发现序列长度是n-m，且前n-1-m个位置可以填1..n，最后一个只能填1..m，所以：

\(F(n,m)=m*n^{n-1-m}\)

那直接乘上一个\(C_n^m\)来把1..m换成其它根即是我们要求的。

或者说直接推导：

新建一个虚点n+1，让所有的根连向n+1，那么就可以做树上purfer（取编号最小的叶子），直到剩下n+1一个点。

由于n+1的度数是m，所以在prufer序列中出现m-1次。

因此\(=C_{n-1}^{m-1}*n^{n-m}\)

和上面是等价的。

Task3：

\(Ans=C(n,m)*\sum_{i=0}^{mk}f[m][i]*C_{n-m-1}^{i-1}*(n-m)^{n-m-i}\)

模数不是质数，所以组合数需要分解质因数来算。

Code：

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#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

int T, n, m, k, mo;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

int u[105], v[105], u0;
int pmo;

void fen(int x) {
	pmo = x;
	u0 = 0;
	for(int i = 2; i * i <= x; i ++) if(x % i == 0) {
		u[++ u0] = i; v[u0] = 0;
		for(; x % i == 0; x /= i) v[u0] ++;
	}
	if(x > 1) u[++ u0] = x, v[u0] = 0;
	fo(i, 1, u0) pmo = pmo / u[i] * (u[i] - 1);
}

ll c[10005][105];

ll inv(int x) { return ksm(x, pmo - 1);}

struct nod {
	int v[11];
};

nod operator * (nod a, nod b) {
	a.v[0] = (ll) a.v[0] * b.v[0] % mo;
	fo(i, 1, u0) a.v[i] += b.v[i];
	return a;
}
nod operator / (nod a, nod b) {
	a.v[0] = (ll) a.v[0] * inv(b.v[0]) % mo;
	fo(i, 1, u0) a.v[i] -= b.v[i];
	return a;
}

nod p[10005], q[10005];

void gg(int x, nod &p) {
	if(!x) {
		fo(i, 1, u0) p.v[i] = 0;
		p.v[0] = 1;
		return;
	}
	fo(i, 1, u0) {
		p.v[i] = 0;
		for(; x % u[i] == 0; x /= u[i]) p.v[i] ++;
	}
	p.v[0] = x;
}

void build(int n) {
	gg(0, p[0]);
	gg(0, q[0]);
	fo(i, 1, min(10000, n)) {
		gg(i, p[i]);
		p[i] = p[i - 1] * p[i];
		gg(n - i + 1, q[i]);
		q[i] = q[i - 1] * q[i];
	}
}
ll C(int x) {
	nod w = q[x] / p[x];
	ll s = w.v[0];
	fo(i, 1, u0) s = s * ksm(u[i], w.v[i]) % mo;
	return s;
}

ll f[105][10005];

int main() {
	freopen("islands.in", "r", stdin);
	freopen("islands.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &T);
	fo(ii, 1, T) {
		scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &k, &mo);
		if(n - m == 0) {
			pp("%d\n", 1 % mo);
			continue;
		}
		fen(mo);
		fo(i, 0, 10000) {
			c[i][0] = 1;
			fo(j, 1, min(i, 100)) c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mo;
		}
		build(n - m);
		memset(f, 0, sizeof f);
		fo(i, 1, m) {
			f[i][0] = 1;
			fo(j, 1, i * k) {
				f[i][j] = f[i][j - 1] * i;
				if(j >= k + 1) f[i][j] -= f[i - 1][j - (k + 1)] * c[j - 1][k] % mo * i;
				f[i][j] = (f[i][j] % mo + mo) % mo;
			}
		}
		ll ans = 0;
		fo(i, 0, m * k) {
			if(n - m - 1 - i >= 0) ans += f[m][i] * C(i) % mo * i % mo * ksm(n - m, n - m - 1 - i) % mo;
			if(n - m - 1 - i == -1) ans += f[m][i] * C(i) % mo;
		}
		build(n);
		ans = ans % mo * C(m) % mo;
		pp("%lld\n", ans);
	}
}