Uva10791 唯一分解定理模板

唯一分解定理：

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Uva10791

题意：

输入整数n，要求至少两个正整数，使得他们的最小公倍数为n，且这些整数的和最小

解法：

首先假设我们知道了一系列数字a1，a2，a3……an，他们的LCM是n，那么什么时候他们是最优解呢，当他们两两互质的时候

为了方便我们以两个数来说明问题。

a和b的LCM是n，GCD是m，那么n=a/m*b ， 它们的和就是sum=a+b;

如果m不为1（即a和b不互质），那么我们为什么不优化一下，将a变为a=a/m呢？，改变后a和b的LCM依然是n，但是他们的和显然减少了

所以我们得到最重要的一个性质，要想a1，a2，a3……an的和最小，要保证他们两两互质，只要存在不互质的两个数，就一定可以近一步优化

那我们怎么保证两两互质呢？方法其实很简单，直接分解质因子

例如24=2*2*2*3 ， 只能分解为8和3，因为这里有3个2，这3个2必须在一起，如果分开了这3个2，这出现有两个数会有一个公共的质因子2，并且会使这两个数的LCM不是24

再例如72=2*2*2*3*3，只能分为8和9，因为3个2和2个3都不能分开，他们必须在一次

所以，我们将一个数n分解为质因子后，顺便做一个处理，在除干净一个质因子的同时，将他们乘起来作为一个因子，处理完后会得到多个因子，他们之间同样满足两两互质的性质

然后是进一步的分析

例如264600=8*27*25*49  ， 只是由3个2,3个3,2个5,2个7，处理后得到的因子，那么8,27，25,49的LCM是264600，并且两两互质，他们还要不要处理呢？不需要了，直接将他们加起来就是我们要的答案！为什么呢？可以将8,27,25,49这些数字乘起来，无论怎样乘都好，最后得到的数字它们的LCM依然是n，但是乘起来再相加显然比直接相加要大得多！

所以我们已经得到了这个问题的解法

1.将一个数分解成质因子，将相同的因子乘起来作为一个处理后的因子

2.将处理后得到的多个因子直接相加就是答案

3.因为题目说只要需要两个数字，所以对于1和素数我们需要小心。对于素数，我们只能分解出一个因子就它自己，对于1一个因子都分解不出来（我们不把1当做因子），他们的答案都是n+1，因为只有1和n的LCM是n

 /*
   唯一分解定理的应用，work_quality_factor就是分解质因数的板子
   将一个数分解质因数，将他们所有相同的因子乘起来作为一个新的因子，最后的和就是这些因子和
 */
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn = ;
 ll fac[maxn], frq[maxn];

 ll poww(ll a, ll b) {
     ll ans = , base = a;
     while (b != ) {
         if (b &  != )
             ans *= base;
         base *= base;
         b >>= ;
     }
     return ans;
 }

 ll work_quality_factor(ll n, ll quality_fac[], ll frequency[])
 {//n是待分解的数,quality_fac[]会存放它包含的质因子,而frequency[]存放对应次数
  //如q_f[k]=7,fre[k]=2就表示质因数分解后里面包含有7,且次数是2
  //函数返回有几种质因子,比如分解了25就返回1,分解28返回2
     ll res, temp, i;
     res = ;
     temp = n;
     for (i = ; i*i <= temp; i++)
         if (temp%i == )
         {
             quality_fac[res] = i;
             frequency[res] = ;
             while (temp%i == )
             {
                 temp = temp / i;
                 frequency[res]++;
             }
             res++;
         }
     if (temp > )
     {
         quality_fac[res] = temp;
         frequency[res++] = ;
     }
     return res;
 }

 int main() {
     ll n; int kase = ;
     while (scanf("%lld", &n) && n) {
         ll num = work_quality_factor(n, fac, frq);
         ll ans = ;
         if (num ==  || num == ) ans = n + ;
         else {
             for (int i = ; i < num; i++) {
                 ans += poww(fac[i], frq[i]);
             }
         }
         printf("Case %d: %lld\n", kase++, ans);
     }
     return ;
 }