atcoder Keyence Programming Contest 2020 题解

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A

题意：给一个\(n*m\)的初始为白色的矩阵，一次操作可以将一行或一列染成
黑色，问至少染出\(k\)个黑点的最少操作次数。
\(n\),\(m\)<=100,\(k\)<=1e4

B

题意：有\(n\)条线段，用二元组\((x,len)\)表示，占据\([x-len,x+len]\)的位置。
问最多能选择多少条不相交的线段。
\(n\)<=1e5,\(x_i\),\(len_i\)<=1e9

C

题意：给定\(n\),\(k\),\(s\),构造一个序列\(a\),使得恰好有\(k\)个二元组\((l,r)\),\(\sum_{i=l}^{r} a[i]\) = \(s\)。
\(n\)<=1e5,0<=\(k\)<=\(n\),\(s\)<=1e9，\(a_i\)<=1e9

D

题意：有\(n\)张卡片，初始时每张卡片上面是\(a[i]\),下面是\(b[i]\)。一次操作可以交换相邻两张牌，
并将这两张牌翻转。最小化操作次数，使得上面的数组成的序列不降。
\(n\)<=18,\(a_i\),\(b_i\)<=50

E

题意：给定一个\(n\)点\(m\)边的无向图，每个点可以被染成黑色或白色，每条边可以指定一个[1,1e9]以内的权值。
找出一种染色和给定边权的方案，使得：
1.至少存在一个黑点，一个白点；
2.每个点到与其最近的颜色相异的点的距离为\(d_i\)。
\(n\)<=1e5,\(m\)<=2e5,\(d_i\)<=1e9

F

题意:有一个\(n*m\)的矩阵，初始时每个点都有一个颜色。
你可以对其进行任意次操作，每次操作可以任选一行（列），将这一行（列）的点全染成黑（白）色。
问共能操作出多少种不同的矩阵。答案对998244353取模。
\(n\),\(m\)<=10

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题解

A

入门题。根据\(n\),\(m\)大小判断染行还是染列。
时间复杂度:\(O(1)\)

B

经典的贪心问题。将所有线段按右端点排序，直接扫一遍，维护一下当前选到的右端点就好。
时间复杂度：\(O(nlogn)\)

C

\(傻逼题\)。直接指定\(k\)点权值为\(s\),剩下的都为\(s+1\)就行。注意\(s\)=1e9需要特判。
时间复杂度：\(O(n)\)

D

\(n\)很小，引导我们可以用指数级别的复杂度做题。首先可以想到暴力枚举所有牌最后哪边朝上。
考虑如何判定一个方案是否合法，并判断其最小的移动步数。
我们将这个状态设为\(S\)，它的第\(i\)位为1就代表它是\(b_i\)朝上，否则是\(a_i\)朝上。

step1

1的个数一定是个偶数。

step2

我们根据这个01序列，可以得到最终的一个无序序列\(C\)。将这个序列排序，现在要做的就是
找一个合法的匹配方案。
可能读者会有些疑惑:这里为什么还要判断是否合法呢？
考虑那个01序列的另外一层意义：如果某一位为1，那么这一位的这张牌就移动了奇数次，否则就是偶数次。
这个东西分奇偶讨论一下，用vector存一下所有\(c_i\)的所有出现位置，一一匹配就行。
由于\(C\)中可能有重复元素，最优策略就是原序列中左边的点尽量和排序后的\(C\)的左边的点匹配。这个是显然的。
这样，我们就相当于得到了一个排列\(P\)，表示一种匹配方案。

step3

那么确定这个方案合法后，如何求出最少的移动步数呢？可以发现这就是这个排列的逆序对个数。把它算出来，更新答案。
时间复杂度：O(\(2^n\) \(\times\) \(n^2\))

E

考虑从何下手这个问题。
首先，我们肯定希望这个最短路尽量好求一些。最好是所有的匹配都是两点直接相连的。
当然事实确实是这样的。这里给出一个证明。
考虑反证法：如果存在一种匹配方案\(a->c\),\(b->c\),\(a\),\(b\)是黑点，\(c\)是白点，且这三点的连边情况是：\(a---b---c\)。
首先，如果\(b\)和\(c\)匹配，那么\(a\)不会和其他点匹配。

情况1

\(d_a\)<\(d_b\)：显然这种方案是不合法的；

情况2

\(d_a\)>=\(d_b\):显然可以将\(b\)换成白点，\(c\)换成黑点（\(c\)不换也行，具体看情况）。
因此，若有解，一定存在一种匹配方案，使得所有点都和它直接相连的一个点匹配。
接下来，考虑这样的一个匹配过程：
一个节点\(A\)找到了另一个节点\(B\)，与其匹配。那么那个节点\(B\)有两种选择：一是和\(A\)匹配，一是和其他节点匹配。
重点是，无论如何匹配，\(d_B\)一定大于等于\(d_A\)。
由此下去，一定有一个最终状态，节点\(B\)别无他选，只能和\(A\)匹配。我们发现了隐藏在题目中的单调性。
由此，我们得到了一个做法：先将所有节点按\(d_i\)从小到大排序，然后对于每个节点，
先找有没有与其直接相连的未被染色的点，且两者的\(d\)相同。若有，则两点互相匹配，若没有，再找一个已被染色的点，
与其匹配即可。若还没有，则无解。
注意一定要先找能互相匹配的点，因为一次可以染两个节点的色。
时间复杂度:\(O(nlogn+m)\)

F

待填坑~

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代码

先咕在这里，等写完F再放吧~