HDU 2082 母函数模板题

找单词

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Description

假设有x1个字母A， x2个字母B,..... x26个字母Z，同时假设字母A的价值为1，字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和，比如，单词ACM的价值是1+3+14=18，单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关，比如ACM与CMA认为是同一个单词）。 

 

Input

输入首先是一个整数N，代表测试实例的个数。 
然后包括N行数据，每行包括26个<=20的整数x1,x2,.....x26. 

 

Output

对于每个测试实例，请输出能找到的总价值<=50的单词数,每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

2
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9

 

Sample Output

7
379297

 

Source

2006/1/15 ACM程序设计期末考试

先说一下什么是母函数：传送门。

生成函数，英文是Generating Function。恕本人不才，本文只介绍生成函数的其中一种用法。

生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数，我看到最多的是这样两句话：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

其实这两句话我也不算太懂。先放这里，说不定以后可能会慢慢理解吧。

还是先举个大牛博客中的例子吧：

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚，问你能称出哪几种重量？每种重量各有几种方案？

下面是用母函数解决这个问题的思路：

首先，我们用X表示砝码，X的指数表示砝码的重量。那么，如果用函数表示每个砝码可以称的重量，

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示，

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示，

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘，可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘，得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

聪明的你，是不是发现了什么？

如果没有，接着把它与X^0+X^4相乘，最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

由于X的指数表示的是重量，所以，在相乘时，根据幂的运算法则（同底幂相乘，指数相加），得到的结果正是所有的方案。而且，每个X前面的系数代表它有几种方案。

真是神奇啊。。。。

需要注意的是，如果有2个1克的砝码，应该用X^0 + X^1 + X^2表示，而不是X^0 + 2*X^1。

母函数还可以解决其他问题，比如，整数划分。

整数划分是个很经典的问题，划分规则就不再细述，直接说思路。与上面的问题相比，每种砝码的个数不再是1个，而是无限个。于是，

1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示，

2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示，

3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示，

依次类推。

相乘后求出X^n的系数，就是结果。

总而言之，解决此类问题，只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组，c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数，c2[ ]保存每次计算时的临时结果，当每次计算完毕后，把它赋给c1，然后c2清零。

计算的时候，开3层for循环。最外层，记录它正在与第几个多项式相乘。第二层，表示c1中的每一项，第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

代码注释写的很详细，很容易懂。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int main()
{
    int t,c1[],c2[],num[];
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(c1,,sizeof(c1));//c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数
        memset(c2,,sizeof(c2)); //c2[ ]保存每次计算时的临时结果
        memset(num,,sizeof(num));
        for(int i=;i<=;i++)
        cin>>num[i];
        c1[]=;  //相当于用X^0去乘以后面的多项式
        for(int i=;i<=;i++)//要乘以26个多项式
            {for(int j=;j<=;j++)//c1的各项的指数
            for(int k=;k<=num[i]&&j+k*i<=;k++)
            //k*i表示被乘多项式各项的指数,(X^0*i + X^1*i + X^2*i + ……)
            c2[j+k*i]+=c1[j];
            //指数相加得j+k*i,加多少只取决于c1[j]的系数，因为被乘多项式的各项系数均为1
        memcpy(c1,c2,sizeof(c1));
        memset(c2,,sizeof(c2));}
        int ans=;
        for(int i=;i<=;i++)
            ans+=c1[i];
        cout<<ans<<endl;
    }
    return ;
}