题目大意:给你一个数列a,规定$a[1]=a[2]=a[3]=1$,$a[i]=a[i-1]+a[i-3](i>3)$求$a[n]\ mod\ 10^9+7$的值。

解题思路:这题看似是很简单的递推,但是$n\leq 2×10^9$,递推肯定是会超时的。故我们需要优化。

常见优化有矩阵加速,还有什么我并不知道了。

用矩阵可将此类题目时间复杂度从$O(n)$优化为$O(\log_2 n)$。

具体对于此类形如$f(n)=f(n-1)*p(1)+f(n-2)*p(2)+...+f(n-k)*p(k)$的线性递推问题,有如下解法。

设$F[i]=\begin{bmatrix} fn-k] \\f[n-k+1]\\f[n-k+2]\\...\\f[n-1]\\f[n] \end{bmatrix}\quad$,

则$F[n]=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&...&0\\0&0&1&0&...&0\\0&0&0&1&...&0\\...&...&...&...&...&...\\0&0&0&0&...&1\\p[k]&p[k-1]&p[k-2]&p[k-3]&...&p[1]\end{bmatrix}\quad ×F[n-1]$。

运用矩阵快速幂即可完成加速。

故此题解法如下。

$$\begin{bmatrix}a[n-2]\\a[n-1]\\a[n]\end{bmatrix}\quad =\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{bmatrix}^{n-3}\quad×\begin{bmatrix}a[1]\\a[2]\\a[3]\end{bmatrix}\quad$$

C++ Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct mat{
long long a[30][30];
int r,c;
};
mat mul(mat x,mat y){
mat ans;
memset(&ans,0,sizeof ans);
for(int i=0;i<x.r;++i)
for(int j=0;j<y.c;++j)
for(int k=0;k<x.c;++k)
ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%1000000007;
ans.r=x.r;
ans.c=y.c;
return ans;
}
void pow(int n){
mat p;
memset(&p,0,sizeof p);
p.r=p.c=3;
p.a[0][1]=p.a[1][2]=p.a[2][0]=p.a[2][2]=1;
mat ans;
memset(&ans,0,sizeof ans);
ans.r=ans.c=3;
ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=ans.a[2][2]=1;
while(n){
if(n&1){
ans=mul(p,ans);
}
p=mul(p,p);
n>>=1;
}
p.a[0][0]=p.a[1][0]=p.a[2][0]=1;
p.c=1;
ans=mul(ans,p);
printf("%d\n",(int)ans.a[2][0]);
}
int main(){
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
int n;
scanf("%d",&n);
if(n<4)puts("1");else
pow(n-3);
}
return 0;
}

[洛谷P1939]【模板】矩阵加速(数列)的更多相关文章

  1. 【洛谷P1939】 矩阵加速模板

    https://www.luogu.org/problemnew/show/P1939 矩阵快速幂 斐波那契数列 首先看一下斐波那契数列的矩阵快速幂求法: 有一个矩阵1*2的矩阵|f[n-2],f[n ...

  2. 洛谷P3373 [模板]线段树 2(区间增减.乘 区间求和)

    To 洛谷.3373 [模板]线段树2 题目描述 如题,已知一个数列,你需要进行下面两种操作: 1.将某区间每一个数加上x 2.将某区间每一个数乘上x 3.求出某区间每一个数的和 输入输出格式 输入格 ...

  3. 洛谷 P1939 【模板】矩阵加速(数列) 解题报告

    P1939 [模板]矩阵加速(数列) 题目描述 a[1]=a[2]=a[3]=1 a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3) 求a数列的第n项对1000000007(10^9+7)取余的值 ...

  4. 洛谷 P1939 矩阵加速(数列)

    题意简述 \(a[1]=a[2]=a[3]=1\) \(a[x]=a[x−3]+a[x−1](x>3)\) 求a数列的第n项对1000000007取余的值. 题解思路 矩阵加速 设\[ F=\b ...

  5. LCT总结——概念篇+洛谷P3690[模板]Link Cut Tree(动态树)(LCT,Splay)

    为了优化体验(其实是强迫症),蒟蒻把总结拆成了两篇,方便不同学习阶段的Dalao们切换. LCT总结--应用篇戳这里 概念.性质简述 首先介绍一下链剖分的概念(感谢laofu的讲课) 链剖分,是指一类 ...

  6. 洛谷P3375 [模板]KMP字符串匹配

    To 洛谷.3375 KMP字符串匹配 题目描述 如题,给出两个字符串s1和s2,其中s2为s1的子串,求出s2在s1中所有出现的位置. 为了减少骗分的情况,接下来还要输出子串的前缀数组next.如果 ...

  7. 【bzoj3240 && 洛谷P1397】矩阵游戏[NOI2013](矩阵乘法+卡常)

    题目传送门:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3240 这道题其实有普通快速幂+费马小定理的解法……然而我太弱了,一开始只想到了矩阵乘法的 ...

  8. 【AC自动机】洛谷三道模板题

    [题目链接] https://www.luogu.org/problem/P3808 [题意] 给定n个模式串和1个文本串,求有多少个模式串在文本串里出现过. [题解] 不再介绍基础知识了,就是裸的模 ...

  9. 洛谷-P5357-【模板】AC自动机(二次加强版)

    题目传送门 -------------------------------------- 过年在家无聊补一下这周做的几道AC自动机的模板题 sol:AC自动机,还是要解决跳fail边产生的重复访问,但 ...

随机推荐

  1. Nashorn——在JDK 8中融合Java与JavaScript之力--转

    原文地址:http://www.infoq.com/cn/articles/nashorn 从JDK 6开始,Java就已经捆绑了JavaScript引擎,该引擎基于Mozilla的Rhino.该特性 ...

  2. sql中计算百分比

    sql中计算百分比:(转成字符串然后拼接%) ),) AS CHAR),'%') as aa from act_canal; 效果:

  3. ikbc 时光机 F87 Ctrl 失灵 解决办法

    多按几次Fn+PrtSc,直至按键无错位.

  4. Date日期类 Calendar日历类 完成可视化日历

    package com.test; import java.text.DateFormat; import java.text.ParseException; import java.text.Sim ...

  5. 洛谷P2756 飞行员配对方案问题 网络流_二分图

    Code: #include<cstdio> #include<queue> #include<vector> #include<cstring> #i ...

  6. SKU和SPU表的设计

    1.什么是SKU,SPU SKU:Stock Keeping Unit (库存量单位)SKU即库存进出计量的单位,可以是以件.盒.托盘等为单位,是物理上不可分割的最小存货单元.在使用时要根据不同业态, ...

  7. POJ-3169 Layout 最短路 差分约束

    题目链接:https://cn.vjudge.net/problem/POJ-3169 题意 Farmer John手下的一些牛有自己喜欢的牛,和讨厌的牛 喜欢的牛之间希望距离在给定距离D之内 讨厌的 ...

  8. mysql 修改默认的引擎

      需求: mysql 的默认的引擎为MyISAM  虽然该引擎访问的速度快,但并不支持存储事物,也不支持外键,所以我们修改为innob Linux修改MySql默认存储引擎为InnoDB     一 ...

  9. 紫书 例题8-14 UVa 1607 (二分)

    题意非常难理解-- #include<cstdio> #define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++) using namesp ...

  10. nginx proxy_set_header设置,自定义header

    在实际应用中,我们可能需要获取用户的ip地址,比如做异地登陆的判断,或者统计ip访问次数等,通常情况下我们使用request.getRemoteAddr()就可以获取到客户端ip,但是当我们使用了ng ...