POJ 3252 组合数学？

大神们的题解我一个都没看懂。。。。。。。。。。。

十分的尴尬

题意：算出闭区间内二进制中0的个数大于等于1的个数的数字有多少个

思路：

组合数学（n小于500的时候都可以出解，只不过高精比较麻烦）。

这道题还算比较仁慈。。。

Discuss里面有一段说得挺好的

看完各家算法，尝试独立分析一下： 以sample为例子

[2,12]区间的RoundNumbers（简称RN）个数:Rn[2,12]=Rn[0,12]-Rn[0,1]

即：Rn[start,finish]=Rn[0,finish]-Rn[0,start-1] 所以关键是给定一个X，求出Rn[0,X]

现在假设X=10100100 这个X的二进制总共是8位，任何一个小于8位的二进制都小于X

第一部分，求出长度为[0,7]区间内的二进制是RoundNumber的个数

对于一个长度为Len的二进制(最高位为1)，如何求出他的RoundNumbers呢（假设为用R(len)来表达），分为奇数和偶数两种情况

1、奇数情况：在Len=2k+1的情况下，最高位为1，剩下2k位，至少需要k+1为0

用C(m,n)表示排列组合数：从m个位置选出n个位置的方法

R(len)=C(2k,k+1)+C(2k,k+2)+…+C(2k,2k). 由于

A：C(2k,0)+C(2k,1)+…+C(2k,2k)=2^（2k）

B:C(2k,0)=C(2k,2k), C(2k,1)=C(2k,2k-1) ,,C(2k,i)=C(2k,2k-i) 于是 C(2k,0)+C(2k,1)+…+C(2k,2k)

= C(2k,0)+C(2k,1)+…+C(2k,k)+C(2k,k+1)+C(2k,K+2)+…+C(2k,2k)

= 2*R(len)+C(2k,k)

=2^(2k)

所以R(len)=1/2*{2^(2k)-C(2k,k)};

2. 偶数情况 len=2*k，类似可以推到 R(len)=1/2*(2^(2k-1)); 第二部分，对于上面这个长度为8的例子:即X=10100100，首先如果本身是RoundNumbers，第二部分的结果总数+1

第一部分已经将长度小于8的部分求出。现在要求长度=8的RoundNumber数目 长度为8，所以第一个1不可改变

现在到第二个1，如果Y是前缀如100*****的二进制，这个前缀下，后面取0和1必然小于X，已经有2个0，一个1，剩下的5个数字中至少需要2个0，

所以把第二个1改为0：可以有C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)

现在第三个1，也就是前最为101000**，同样求出，至少需要0个0就可，所以有C(2,0)+C(2,1)+C(2,2)个RoundNumbers

。。。

将所有除了第一个1以外的1全部变为0，如上算出有多少个RoundNumbers，结果相加（由于前缀不一样，所以后面不管怎么组合都是唯一的）

将第一部分和第二部分的结果相加，就是最后的结果了。 精度要求方面，用int就可以了：two

billion=20亿<2*1024*1024*1024=2^31，需用31位来表示数组，由于第一位总是1，所以求组合数的时候最多求30，C(30,k),k取值区间是[0,30],因为C(k,i)<2^k，所以结果用int表示就可以

（也有人用数位DP、记忆化搜索什么的。。。。 看个人喜好吧）

G++ AC C++WA 鬼知道为什么。。。

// by SiriusRen
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
bitset<64>n,m;
int C[35][35];
int N,M,maxn=0,maxm=0,cnt1=1,cnt0=0;
int ans=0;
int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);M++;
    for(int i=30;i>=0;i--){
        if(M&(1<<i))m[i]=1,maxm=max(maxm,i);
        if(N&(1<<i))n[i]=1,maxn=max(maxn,i);
    }
    for(int i=0;i<=31;i++)C[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=31;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    for(int i=maxm;i>=0;i--)
        for(int j=i-1;2*j>=i;j--)ans+=C[i-1][j];
    for(int i=maxm-1;i>=0;i--)
        if(m[i]){
            for(int j=maxm-cnt0-cnt1;2*j+2*cnt0+1>=maxm;j--)
                ans+=C[maxm-cnt0-cnt1][j];
            cnt1++;
        }
        else cnt0++;
    cnt1=1;cnt0=0;
    for(int i=maxn;i>=0;i--)
        for(int j=i-1;2*j>=i;j--)ans-=C[i-1][j];
    for(int i=maxn-1;i>=0;i--)
        if(n[i]){
            for(int j=maxn-cnt0-cnt1;2*j+2*cnt0+1>=maxn;j--)
                ans-=C[maxn-cnt0-cnt1][j];
            cnt1++;
        }
        else cnt0++;
    printf("%d\n",ans);
}

看到另一份题解里有这样一句话：

组合数学，一跪一天，爽！

表示赞同