正六边形网格化(Hexagonal Grids)原理与实现

　　在路径规划、游戏设计栅格法应用中，正六边形网格不如矩形网格直接和常见，但是正六边形具有自身的应用特点，更适用于一些特殊场景中，比如旷阔的海洋、区域或者太空。本文主要讲述如何对正六边形进行几何学分析、网格化环境建模、坐标系转换以及正六边形间的关系求解等。六边形的具体代码实现可以参见github: https://github.com/wylloong/HexagonalGrids .

　　几何学分析：正六边形的边长相等，内角都是120度，其它性质可以参见百度百科。在正六边形网格化布局设计中，典型的正六边形方向有水平方向（pointy topped，图1）和垂直方向（flat topped,图2）两类，两者性质类似。篇幅所限，本文主要讨论pointy topped类型的正六边形网格化布局。

图 1. pointy topped

图 2. flat topped

　　如图3所示的正六边形布局，针对pointy topped型的正六边形，设其边长为size，则六边形的宽width=sqrt(3)/2*size，和相邻六边形的水平距离hori=sqrt(3)/2*size，六边形的高是height=size*2，和相邻六边形的垂直距离是vert=1.5*size。

图 3. pointy topped型的正六边形几何示意图

　　坐标系选择：假设实现六边形网格化，那么六边形位置关系的表达有很多方式，有Offset coordinates、Cube coordinates、Axial coordinates等。本文推荐使用Cube coordinates作为主要的展示方式，Axial coordinates作为网格存储单位和显示坐标系。

　　Offset coordinates：最常用的坐标系，以左上角为坐标系原点，以横向为column轴，以纵向为roe轴，对行和列进行偏置。其中，针对flat topped型的正六边形，具有奇和偶两种表示方式，如下图所示。

　　Cube coordinates：一种全新的看待正六边形的方式，它把正六边形看作具有三个轴，并且满足x+y+z=0的性质，并且我们可以使用标准的方法实现坐标系的加减乘除和求距离。Cube坐标系的原理和其它性质可以参见文献。

　　因为我们已经有针对方形网格和cube网格的计算方法，使用cube坐标系允许我们对六边形采用这些算法。当这个算法要和其他坐标系交互时，我会把其他坐标系转换为cube坐标系，然后计算结束后在转换为其他坐标系。

　　Axial coordinates:该坐标系是由cube坐标系中三个轴中的两个组成的。因为在cube坐标系有x+y+z=0的限制，所以第三个轴是多余的。Axial coordinates主要应用于地图存储和对用户的显示。Axial coordinates相比offset grids的优点是坐标系更清楚，劣势是当存储一个长方形地图时显得有点怪异。

　　总结：Offset coordinates因为符合square grids通用的笛卡尔坐标系，是我们最容易想到的坐标系，但是因为两轴中的一轴必须跟随变化，是一件复杂的事情；Cube and axial systems随着增长而变化并且具有相对简单的计算方法，但是在存储时具有一定的复杂度。

　　Coordinate conversion：我们通常在项目中使用axial or offset coordinates，但是很多算法使用cube坐标系更容易去表达，所以我们需要在坐标系之间转换。

　　Axial coordinates和cube coordinates联系紧密,所以转换公式相对简单。

　　Offset coordinates和cube coordinates转换有点复杂。本文主要针对even-q offset和odd-q offset进行研究。

　　邻近网格：cube coordinates容易求出相邻的6个邻近正六边形网格，但是offset坐标系却比较复杂。

　　Cube coordinates：在正六边形上移动一个网格，涉及到改变cube坐标系中两个轴，一个+1，另一个-1,所以共有六种可能性，每一种可能性对应于六边形的一个方向。

 

　　Axial coordinates：如前所示，我们以cube为起点，由cube转换为axil坐标系即可，如下图所示。

　　Distance: 在cube坐标系中，每一个六边形是一个在cube里面的3d空间。在六边形中相邻的六边形距离是1，但是在cube grid里面距离是2，这会让距离求解变得简单和快速。在square grid中，Manhattan distances are abs(dx) + abs(dy). In a cube grid, Manhattan distances are abs(dx) + abs(dy) + abs(dz).

所以，在cube坐标系中，距离可以表示为

　　在Axial coordinates，第三个坐标系是缺省的，所以通用的做法是先转变为cube坐标系，再求距离。

　　在offset坐标系中，正如Axial coordinates坐标系，我们把offset转变为cube坐标系再求取距离。

　　路径规划：如果使用基于图论的A*或者Dijkstra算法，在六边形中寻找最短路径和正方形网格并没有太多不同。其中，不同的是邻近网格位置获取方法不同，需要用到前面的方法获取临近网格。

　　启发函数：A*算法使用heuristic功能求出两个位置的距离。可以使用距离公式求出距离，乘以移动代价。

 

　　参考文献和资料：

1、http://www.redblobgames.com/grids/hexagons/

2、Her I. Geometric transformations on the hexagonal grid[J]. IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society, 1995, 4(9):1213-22.