AGC007C Pushing Balls —— 期望的神题

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题意： 序列上按顺序交错有 \(n\) 个球和 \(n+1\) 个洞，即 \(hole_1,ball_1,hole_2,ball_2,\dots,ball_n,hole_{n+1}\)，相邻两个位置的距离形成一个首项为 \(s\) 公差为 \(d\) 的等差数列，接下来有 \(n\) 次操作，每次操作会随机选一个球并将其随机向左推或向右推。容易发现最后每个球都会滚进一个洞中。求所有球滚动的总距离的期望。

发现 1：所谓的等差数列可以转化为每个距离都相同。

注意到对于任意一种推球的方式，考虑与它恰好对称的推球方式，可以发现，对于每个球来说，它们在两次推球的过程中走过距离的平均值为一定值 \(s+(n-1)/2*d\)！于是可以认为每相邻两个位置的距离均为此定值。

发现 2：对于各种情况，可以将每个位置的距离取期望后再进行计算。

注意到总期望距离可认为 \(\sum_{state} p_{state}d_it_i=\sum_i E[i]t_i\)，其中 \(t_i\) 为每个状态中 \(i\) 被覆盖的次数，\(p_{state}\) 为状态 \(state\) 出现的概率，\(d_i\) 为该状态中空隙 \(i\) 的距离。于是这个距离可以期望化。

通过以上两个发现，可以注意到每次操作后仍然可以转化为每个空隙都有一个期望，发现除了首尾以外所有空隙期望长度均相同，且首尾两个空隙平均下来也是对的，就可以视为所有位置长度都相同，随便推推狮子即可。

时间复杂度 \(O(n)\)。

本题两个发现可谓精妙绝伦啊~~~