AGC007C Pushing Balls

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题意：\(N\)个坑，\(N+1\)个球，相间分布，距离为以\(d_1\)为首项，\(x\)为公差的等差数列。对于每次操作，随机选择一个未入坑的球，随机选择向左或向右，掉入第一个没有球的坑，定义一次操作的价值为球移动的距离。求\(N\)次操作的期望总价值。

分析：这是一道很好的期望题

其实\(idea\)还是比较妙的。

考虑转化问题：有\(2N+1\)个物品，每次随机删去相邻两个，求距离和的期望。

然后我们发现，若干次操作后段长仍为等差数列。

这个感性认知一下吧（能感觉到的请忽略这一段），初始时对于每个长为\(d_1+kx\)的段，删去两点后该段长度为\(3d_1+3kx\)，那么所有非边界的两点删去后的长度为\(3d_1, 3d_1+3x,\dots,3d_1+3(2n-1)x\)，加上任意两点删去可能性相当，所以第一次操作后仍是等差数列。然后后面肯定也是了对吧。

然后我们计算每一次操作后（当前有\(2N\)个点）的首项与公差的期望。

首项有三种可能：

1、删除编号为1、2的点，首项为\(d_1+2x\)

2、删除编号为2、3的点，首项为\(3d_1+3x\)

3、其他情况首项不变为\(d_1\)

根据全期望公式得到

\(d_1^{'}=\frac{1}{2n}*(d_1+2x)+\frac{1}{2n}*(3d_1+3x)+\frac{2n-2}{2n}*d_1\)

​ \(=\frac{(2n+2)d_1+5x}{2n}\)

公差有两种可能：

1、该段长不变为\(x\)

2、该段被取走为\(3x\)

\(x^{'}=\frac{(n+2)x}{2n}\)

每次计算答案即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    double n, a, x, ans=0.0;
    cin >> n >> a >> x;
    for (; n; n--)
    {
        ans+=a+(2*n-1)/2*x;
        a=((2*n+2)*a+5*x)/(2*n);
        x=(n+2)*x/n;
    }
    printf("%.10f\n",ans);
    return 0;
}