CW信号的正交解调

1.CW信号

  CW可以叫做等幅电报，它通过电键控制发信机产生短信号"."（点）和长信号"--"（划），并利用其不同组合表示不同的字符，从而组成单词和句子。

  CW信号可以看作一种幅度调制信号，类似于幅移键控（2ASK信号）其携带的信息保存在其幅度中，通过改变载波的幅度来实现基带数据的传输。

其函数表达式如下：

\[s(t) = m(t)*cos(2\pi ft + \varphi)\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space m(t) \in \left \{ 0,1\right \}
\]

其中：

\(m(t)\):表示基带信号。

\(cos(2\pi ft + \varphi)\):是调制载波。

2.CW的数字正交解调

原理：

通过正交的方式即可解调出基带信号，其数学推导如下：

  假设基带信号为\(m(t)\)，调制的载波频率为\(f_1\)，解调的载波频率为\(f_2\)，相位为\(\varphi\),LPF为低通滤波器，则：

I路：

\[I(t) = LPF(s(t)*cos(2\pi f_2t + \varphi)) = LPF(m(t)*cos(2\pi f_1t) *cos(2\pi f_2t + \varphi))
\]

根据三角函数公式：

\[\begin{split}
I(t) &= LPF(m(t)*cos(2\pi f_1t) *cos(2\pi f_2t + \varphi))\\
&= LPF(\frac{1}{2}m(t)*[cos(2\pi (f_1 + f_2)t+\varphi) + cos(2\pi (f_1 - f_2 )+ \varphi)]) \\
&= \frac{1}{2}m(t)*cos(2\pi (f_1 - f_2 )+ \varphi)) \\
\end{split}
\]

同理：Q路：

\[\begin{split}
Q(t) &= LPF(m(t)*cos(2\pi f_1t) *sin(2\pi f_2t + \varphi))\\
&= LPF(\frac{1}{2}m(t)*[cos(2\pi (f_1 + f_2)t+\varphi) - sin(2\pi (f_1 - f_2 )+ \varphi)]) \\
&= -\frac{1}{2}m(t)*sin(2\pi (f_1 - f_2 )+ \varphi)) \\
\end{split}
\]

为了计算方便假设：

\[K=2\pi (f_1 - f_2 )+ \varphi
\]

则：

\[\begin{split}
& I(t) = \frac{1}{2}m(t)*cos(K) \\
& Q(t) = -\frac{1}{2}m(t)*sin(K)
\end{split}
\]

根据三角函数公式：

\[K = arctan(\frac{-Q(t)}{I(t)})
\]

注：\(arctan\)函数有作用域\((-\pi/2\space\space\space\space\pi/2)\)要求，所以将使用atan2函数替代。

\[\begin{split}
& I(t) = \frac{1}{2}m(t)*cos(arctan(\frac{-Q(t)}{I(t)})) \\
& Q(t) = -\frac{1}{2}m(t)*sin(arctan(\frac{-Q(t)}{I(t)}))
\end{split}
\]

  向量旋转，将一个向量\((cos(\theta_1),sin(\theta_1))\),逆时针旋转\(\theta_2\),旋转后的坐标为\((cos(\theta_1-\theta_2),sin(\theta_1-\theta_2))\)。将I和Q看着一个向量，将其逆时针旋转\(arctan(\frac{-Q(t)}{I(t)})\),那么：

\[\begin{split}
& I'(t) = \frac{1}{2}m(t)*cos(arctan(\frac{-Q(t)}{I(t)}) - arctan(\frac{-Q(t)}{I(t)})) =\frac{1}{2}m(t)\\
& Q'(t) = -\frac{1}{2}m(t)*sin(arctan(\frac{-Q(t)}{I(t)}) - arctan(\frac{-Q(t)}{I(t)})) = 0
\end{split}
\]

这样就消除了相位差和频率差带来的误差，\(I'(t)\)就是我们解调的结果。其结果与频率差与相位差无关。

3.拍频信号

  看过电视剧里面发电报的应该不陌生，电台在发出或者接收电台信号的时候，经常会听到滴滴答答的声音，CW信号如何转化为音频信号，就需要通过拍频器来完成，将电信号转化为人耳可以识别的声音信号频率(20-20000Hz),通过扬声器播放。

4.MATLAB仿真

仿真代码：

close all;
fs = 100E3;%采样率
base_data = [1,0,0,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0];
len = 1E3;
mt = interp1((1:length(base_data)), base_data, (0:length(base_data)/len:length(base_data)-length(base_data)/len), 'nearest');
f_carr_1 = 20E3;%调制载波频率
f_carr_2 = 21E3;%解调载波频率
fi = 0.2;%解调载波初始相位
t = 0:1/fs:(len-1)/fs;
cw_data = mt.*cos(2*pi*f_carr_1*t);

I = mt.*cos(2*pi*(f_carr_1-f_carr_2)*t-fi)/2 + randn(size(t))/1000;
Q = -mt.*sin(2*pi*(f_carr_1-f_carr_2)*t-fi)/2 + randn(size(t))/1000;

%% 向量旋转
theta0 = atan2(Q./(-mt),I./(mt));
It0 = I.*cos(theta0) - Q.*sin(theta0);
Qt0 = Q.*cos(theta0) + I.*sin(theta0);

f_p = 4E3;%拍频频率
theta1 = (0:1:length(I)-1)*(f_p*(2*pi)/fs);
It1 = It0.*cos(theta1) ;

%% 保存IQ数据FPGA使用仿真
% fid = fopen('CW.txt','w');
% for i = 1:l
%     fprintf(fid,'%d %d\n',floor(I(i)* (2^13)),floor(Q(i)* (2^13)));
% end
% fclose(fid);

%% 绘制
figure
time = 6;
subplot(time,1,1);
plot(mt);
title('基带数据');

subplot(time,1,2);
plot(cw_data);
title('调制数据');

subplot(time,1,3);
plot(I);
title('I路');

subplot(time,1,4);
plot(Q);
title('Q路');

subplot(time,1,5);
plot(It0);
title('解调数据');

subplot(time,1,6);
plot(It1);
title('解调数据(拍频)');

结果：

4.FPGA解调

有空补上