luogu P1070 道路游戏

传送门

这里设\(f_i\)表示时刻\(i\)的答案

转移的话在\([i-p+1,i-1]\)之间枚举j,然后考虑从哪个点走过来

复杂度为\(O(n^3)\)

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define il inline
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define inf 999999999

using namespace std;
const int N=1000+10;
il LL rd()
{
    re LL x=0,w=1;re char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
int f[N],a[N][N],c[N],n,m,p;

int main()
{
  n=rd(),m=rd(),p=rd();
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
      a[(i-j+n*m)%n+1][j]=rd();
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
      a[i][j]+=a[i][j-1];
  for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=rd();
  memset(f,-63,sizeof(f));
  f[0]=0;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=max(0,i-p);j<i;j++)
      {
        int cn=-inf;
        for(int k=1;k<=n;k++) cn=max(cn,a[(k-i+n*m)%n+1][i]-a[(k-i+n*m)%n+1][j]-c[(k-i+j+n*m)%n+1]);
        f[i]=max(f[i],f[j]+cn);
      }
  printf("%d\n",f[m]);
  return 0;
}

但是发现重新选择的次数越多,负价值似乎也越多,考虑重设\(f_{i,j}\)表示时刻\(i\)走到\(j\)的答案,转移要么这一点重新选一个机器人,要么从之前的合法的\(f_{i-1,(j-1)mod n+1}\)转移

// luogu-judger-enable-o2
/*省略*/

using namespace std;
const int N=1000+10;
il LL rd()
{
    /*省略*/
}
int F[N],f[N][N],ti[N][N],a[N][N],la[N],c[N],n,m,p;	//la[i]=i前一个位置

int main()
{
  n=rd(),m=rd(),p=rd();
  for(int j=2;j<=n;j++) la[j]=j-1;
  la[1]=n;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
      a[i][j]=rd();
  memset(f,-63,sizeof(f));
  memset(F,-63,sizeof(F));
  for(int j=1;j<=n;j++) c[j]=rd();
  for(int j=1;j<=n;j++)
    {
      ti[1][j]=1,f[1][j]=a[la[j]][1]-c[la[j]];
      F[1]=max(F[1],f[1][j]);
    }
  for(int i=2;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
      {
        ti[i][j]=1,f[i][j]=F[i-1]-c[la[j]];
        if(ti[i-1][la[j]]<p&&f[i][j]<f[i-1][la[j]]) ti[i][j]=ti[i-1][la[j]]+1,f[i][j]=f[i-1][la[j]];
        f[i][j]+=a[la[j]][i];
        F[i]=max(F[i],f[i][j]);
      }
  printf("%d\n",F[m]);
  return 0;
}

乍一看好像是对的

但是会被下面这个数据\(\mathfrak{X}\)掉(huaji)

5 4 3
1 1 1 138
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
233 66 66 66 66

因为上一个代码转移是第一个用3s,第二个用1s,但最优策略是两个都用2s\(\color{#FFFFFF}{-1s\&+1s}\)

考虑如果这样转移

\[f_{i,j}=max(F_{i-k}+a_{i,j}-a_{i-k,j-k}-c_{j-k+1})$$(为了简便不取膜)

其中$a_{i,j}$为**$i$时刻到$j$位置**的前缀和
```cpp
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int i=1;i<=m;i++)
a[i][j]=rd();
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
a[i][j]+=a[i-1][(j-1+n-1)%n+1];
```

把$a_{i,j}$拎出去
$$f_{i,j}=max(F_{i-k}-a_{i-k,j-k}-c_{j-k+1})+a_{i,j}\]

令\(b_{i,j}=F_{i}-a_{i,j}-c_{j+1}\)

则$$f_{i,j}=max(b_{i-k,j-k})+a_{i,j}$$

k的范围为\([1,n]\),所以相当于是滑动的区间最大值虽然是斜的,单调队列即可

代码

// luogu-judger-enable-o2
/*省略*/

using namespace std;
const int N=1000+10;
il LL rd()
{
    /*省略*/
}
int F[N],f[N][N],a[N][N],c[N],nt[N],n,m,p;	//nt[i]=i后一个位置
int q[N][N],hd[N],ti[N][N],tl[N];

int main()
{
  n=rd(),m=rd(),p=rd();
  for(int i=1;i<n;i++) nt[i]=i+1;
  nt[n]=1;
  for(int j=1;j<=n;j++)
    for(int i=1;i<=m;i++)
      a[i][j]=rd();
  for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
      a[i][j]+=a[i-1][(j-1+n-1)%n+1];
  for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=rd();
  memset(F,-63,sizeof(F));
  memset(f,-63,sizeof(f));
  F[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++) hd[i]=tl[i]=1,q[i][1]=-c[i];
  for(int j=1;j<=n;j++)
    {
      f[1][j]=a[1][j]-c[j];
      F[1]=max(F[1],f[1][j]);
    }
  for(int j=1;j<=n;j++)
    {
      int b=F[1]-a[1][j]-c[nt[j]];
      while(hd[j]<=tl[j]&&b>=q[j][tl[j]]) --tl[j];
      q[j][++tl[j]]=b,ti[j][tl[j]]=1;
    }
  for(int i=2;i<=m;i++)
    {
      for(int j=1,ii=(1-i+n*m)%n+1;j<=n;j++,ii=nt[ii])
        {
          while(hd[ii]<=tl[ii]&&ti[ii][hd[ii]]+p<i) ++hd[ii];
          f[i][j]=q[ii][hd[ii]]+a[i][j];
          F[i]=max(F[i],f[i][j]);
        }
      for(int j=1,ii=(1-i+n*m)%n+1;j<=n;j++,ii=nt[ii])
        {
          int b=F[i]-a[i][j]-c[nt[j]];
          while(hd[ii]<=tl[ii]&&b>=q[ii][tl[ii]]) --tl[ii];
          q[ii][++tl[ii]]=b,ti[ii][tl[ii]]=i;
        }
    }
  printf("%d\n",F[m]);
  return 0;
}