题解 「SDOI2017」硬币游戏
Description
周末同学们非常无聊,有人提议,咱们扔硬币玩吧,谁扔的硬币正面次数多谁胜利。
大家纷纷觉得这个游戏非常符合同学们的特色,但只是扔硬币实在是太单调了。
同学们觉得要加强趣味性,所以要找一个同学扔很多很多次硬币,其他同学记录下正反面情况。
用 $ \texttt{H} $ 表示正面朝上, 用 $ \texttt{T} $ 表示反面朝上,扔很多次硬币后,会得到一个硬币序列。比如 $ \texttt{HTT} $ 表示第一次正面朝上,后两次反面朝上。
但扔到什么时候停止呢?大家提议,选出 $ n $ 个同学, 每个同学猜一个长度为 $ m $ 的序列,当某一个同学猜的序列在硬币序列中出现时,就不再扔硬币了,并且这个同学胜利。为了保证只有一个同学胜利,同学们猜的 $ n $ 个序列两两不同。
很快,$ n $个同学猜好序列,然后进入了紧张而又刺激的扔硬币环节。你想知道,如果硬币正反面朝上的概率相同,每个同学胜利的概率是多少。
对于 $ 10% $ 的数据,$ 1 \leq n, m \leq 3 $;
对于 $ 40% $ 的数据,$ 1 \leq n, m \leq 18 $;
对于另外 $ 20%$ 的数据,$ n = 2 $;
对于 $ 100% $ 的数据,$ 1 \leq n, m \leq 300 $。
Solution
考虑使用概率生成函数。
我们设 \([x^n]G(x)\) 表示在 \(n\) 次操作后仍未结束的概率,\([x^n]F_i(x)\) 表示在 \(n\) 次操作后第 \(i\) 个人获胜的概率,\(a_{i,j,k}\) 表示第 \(i\) 个人的 \([1,k]\) 与第 \(j\) 个人的 \([m-k+1,m]\) 是否相同。
那我们可以得到:
\]
\]
因为你最后只需要求出 \(F_i(1)\) ,所以可以把 \(x\) 都当成 \(1\) ,然后第一个式子就变为了:
\]
(似乎很显然的不需要第一个式子)
然后你就有 \(n+1\) 个方程,可以直接高斯消元了。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Int register int
#define MAXN 305
template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}
template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}
int n,m;
char S[MAXN][MAXN];
bool a[MAXN][MAXN][MAXN];
double mat[MAXN][MAXN],pw2[MAXN],ans[MAXN];
#define seed 1000000007
#define ull unsigned long long
ull pw[MAXN],pre[MAXN][MAXN],suf[MAXN][MAXN];
void gauss (){
int up = n + 1;
for (Int i = 1;i <= up;++ i){
int ind = i;
for (Int j = i;j <= up;++ j) if (abs (mat[j][i]) >= 1e-7){ind = j;break;}
if (ind ^ i) swap (mat[i],mat[ind]);
for (Int j = i + 1;j <= up;++ j){
double det = mat[j][i] / mat[i][i];
for (Int k = i;k <= up + 1;++ k) mat[j][k] -= mat[i][k] * det;
}
}
for (Int i = up;i >= 0;-- i){
for (Int j = i + 1;j <= up;++ j) mat[i][up + 1] -= mat[i][j] * ans[j];
ans[i] = mat[i][up + 1] / mat[i][i];
}
}
signed main (){
read (n,m),pw[0] = pw2[0] = 1;
for (Int i = 1;i <= m;++ i) pw[i] = pw[i - 1] * seed,pw2[i] = pw2[i - 1] * 2;
for (Int i = 1;i <= n;++ i) scanf ("%s",S[i] + 1);
for (Int i = 1;i <= n;++ i){
for (Int j = 1;j <= m;++ j) pre[i][j] = pre[i][j - 1] * seed + (S[i][j] == 'T');
for (Int j = m;j >= 1;-- j) suf[i][j] = suf[i][j + 1] + (S[i][j] == 'T') * pw[m - j];
}
for (Int i = 1;i <= n;++ i)
for (Int j = 1;j <= n;++ j)
for (Int k = 1;k <= m;++ k)
a[i][j][k] = (pre[i][k] == suf[j][m - k + 1]);
for (Int i = 1;i <= n;++ i){
for (Int j = 1;j <= n;++ j)
for (Int k = 1;k <= m;++ k)
if (a[i][j][k]) mat[i][j] += pw2[k];
mat[i][n + 1] = -1;
}
for (Int i = 1;i <= n;++ i) mat[n + 1][i] = 1;mat[n + 1][n + 2] = 1;
gauss ();for (Int i = 1;i <= n;++ i) printf ("%.6f\n",ans[i]);
return 0;
}
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