[hdu7026]Might and Magic

（以下默认$A_{0},D_{0},P_{0},K_{0}$都为非负整数）

显然存活轮数$S=\lceil\frac{H_{0}}{C_{p}\max(A_{1}-D_{0},1)}\rceil$​​​是一个关键的变量，且根据数论分块其仅有$o(\sqrt{H_{0}})$​​​种取值，不妨利用数论分块直接$o(\sqrt{H_{0}})$​​枚举，进而也可以确定$D_{0}$​​​​​​（取对应的最小值即可）

（上取整的数论分块实际上即将$H_{0}-1$即可）

进一步的，有以下结论：存在一种取到最值的方案，满足$A_{0}=0$​​或$A_{0}=N'$​​​

关于证明，考虑再枚举这$S$​​轮中物理攻击和魔法攻击的轮数，即$S_{p}$​​和$S_{m}$​​（其中$S_{p}+S_{m}=S$​​）

接下来，考虑如何分配物理攻击和魔法攻击的点数，令$F_{p}(x)$​和$F_{m}(x)$​分别为给物理攻击和魔法攻击分配$x$​​​点的最大伤害值，显然有
$$
\begin{cases}F_{p}(x)=C_{p}S_{p}\max(x-D_{1},1)\\F_{m}(x)=C_{m}\begin{cases}\lfloor\frac{x}{2}\rfloor(x-\lfloor\frac{x}{2}\rfloor)&(\lfloor\frac{x}{2}\rfloor\le S_{m})\\S_{m}(x-S_{m})&(\lfloor\frac{x}{2}\rfloor>S_{m})\end{cases}\end{cases}
$$
最终答案即求$F(x)=F_{p}(x)+F_{m}(N'-x)$在$x\in [0,N']$的最大值，不难证明$F_{p}$和$F_{m}$都是下凸的，进而将$F_{m}$翻转后和$F_{p}$求和仍是下凸的，也即$F$是下凸的

同时，下凸函数的最大值显然在端点处取到，即$x=0$​​或$x=N'$​​，显然$x$也即$A_{0}$​，结论得证

通过这个结论，对两类分别讨论：

1.若$A_{0}=0$​，考虑再枚举$K_{0}$​，答案即​​
$$
\begin{cases}C_{p}(S-K_{0})+C_{m}K_{0}(N'-K_{0})&(K_{0}<S)\\C_{m}S(N'-K_{0})&( K_{0}\ge S)\end{cases}
$$
（为了保证魔法攻击不劣于物理攻击，可以令$K_{0}<N'$，但实际上也会在下面的情况中考虑）​​

即是一个关于$K_{0}$​​的分段一次和二次函数， 不难求极值

2.若$A_{0}=N'$​​​，显然全部使用物理攻击，答案即$C_{p}S\max(A_{0}-D_{1},1)$​​

由于有$t$组数据，最终总复杂度为$o(t\sqrt{H_{0}})$​，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define ll long long
 4 int t,Cp,Cm,H0,A1,D1,n;
 5 ll ans;
 6 ll f(ll a,ll b,ll c,int x){
 7     return a*x*x+b*x+c;
 8 }
 9 ll get_max(ll a,ll b,ll c,int l,int r){
10     ll pos=-b/(a<<1),ans=max(f(a,b,c,l),f(a,b,c,r));
11     if ((l<=pos)&&(pos<=r))ans=max(ans,f(a,b,c,pos));
12     if ((l<=pos+1)&&(pos+1<=r))ans=max(ans,f(a,b,c,pos+1));
13     return ans;
14 }
15 int main(){
16     scanf("%d",&t);
17     while (t--){
18         scanf("%d%d%d%d%d%d",&Cp,&Cm,&H0,&A1,&D1,&n);
19         ans=0;
20         for(int i=1,j;i<=A1;i=j+1){
21             if (i>=H0)j=A1;
22             else j=min((H0-1)/((H0-1)/i),A1);
23             int S=((H0+i-1)/i+Cp-1)/Cp,D0=A1-j,nn=n-D0;
24             if (nn<0)continue;
25             if (min(nn,S)>1)ans=max(ans,get_max(-Cm,(ll)Cm*nn-Cp,(ll)Cp*S,1,min(nn,S)-1));
26             if (S<nn)ans=max(ans,(ll)Cm*S*(nn-S));
27             ans=max(ans,(ll)Cp*S*max(nn-D1,1));
28         }
29         printf("%lld\n",ans);
30     }
31     return 0;
32 }