考虑对于第$i$层$x$与第$i+1$层所对应的点$y$,点$p$在前$i$层中当且仅当$p$到$x$比$p$到$y$距离小

由此,考虑枚举第一层的一个点以及对应到第二层的边,通过bfs就可以确定第一层的点

接下来,标记第一层的点后,第一层的点剩下到未标记的点即为第二层的点,以此类推,就可以$o(m)$的确定所有点(注意还要判断)

注意到度数最小的点,必然出现在第一层或最后一层(否则第一层或最后一层对应的点度数少1),根据对称性,不难证明对于任意一个度数最少的点,存在一组方案满足其在第一层中

同时,度数最小的点的度数不超过$\min(\frac{m}{n},n)$,即$o(\sqrt{m})$,总复杂度为$o(m\sqrt{m})$

  1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 100005
4 struct ji{
5 int nex,to;
6 }edge[N<<2];
7 queue<int>q;
8 vector<int>v[N],ansv[N];
9 int E,n,m,x,y,ans,head[N],r[N],d[N],d0[N],vis[N],pos[N];
10 void add(int x,int y){
11 edge[E].nex=head[x];
12 edge[E].to=y;
13 head[x]=E++;
14 }
15 void bfs(int k){
16 memset(d,0x3f,sizeof(d));
17 d[k]=0;
18 q.push(k);
19 while (!q.empty()){
20 int k=q.front();
21 q.pop();
22 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
23 if (d[edge[i].to]==0x3f3f3f3f){
24 d[edge[i].to]=d[k]+1;
25 q.push(edge[i].to);
26 }
27 }
28 }
29 bool check(){
30 if (n%v[1].size())return 0;
31 if ((m-(n-v[1].size()))%(n/v[1].size()))return 0;
32 memset(vis,0,sizeof(vis));
33 for(int i=0;i<v[1].size();i++)pos[v[1][i]]=i;
34 for(int i=1;i<n/v[1].size();i++){
35 for(int j=0;j<v[i].size();j++)vis[v[i][j]]=1;
36 v[i+1].clear();
37 for(int j=0;j<v[i].size();j++){
38 int to=0;
39 for(int k=head[v[i][j]];k!=-1;k=edge[k].nex)
40 if (!vis[edge[k].to]){
41 if (to)return 0;
42 to=edge[k].to;
43 }
44 v[i+1].push_back(to);
45 pos[to]=j;
46 }
47 }
48 int sum=2*(m-(n-v[1].size()))/(n/v[1].size());
49 for(int i=0;i<v[1].size();i++)
50 for(int j=head[v[1][i]];j!=-1;j=edge[j].nex)
51 if (pos[edge[j].to]!=i)sum--;
52 if (sum)return 0;
53 for(int i=0;i<v[1].size();i++){
54 for(int j=0;j<v[1].size();j++)vis[j]=0;
55 for(int j=head[v[1][i]];j!=-1;j=edge[j].nex)
56 if (pos[edge[j].to]!=i)vis[pos[edge[j].to]]=1;
57 for(int j=2;j<=n/v[1].size();j++){
58 sum=0;
59 for(int k=head[v[j][i]];k!=-1;k=edge[k].nex)
60 if (pos[edge[k].to]==i)sum++;
61 else{
62 if (!vis[pos[edge[k].to]])return 0;
63 }
64 if (sum!=2-(j==n/v[1].size()))return 0;
65 }
66 }
67 return 1;
68 }
69 int main(){
70 scanf("%d%d",&n,&m);
71 memset(head,-1,sizeof(head));
72 for(int i=1;i<=m;i++){
73 scanf("%d%d",&x,&y);
74 add(x,y);
75 add(y,x);
76 r[x]++,r[y]++;
77 }
78 r[0]=r[1];
79 for(int i=1;i<=n;i++)r[0]=min(r[0],r[i]);
80 for(int i=1;i<=n;i++)
81 if (r[i]==r[0])x=i;
82 bfs(x);
83 memcpy(d0,d,sizeof(d));
84 for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nex){
85 y=edge[i].to;
86 bfs(y);
87 v[1].clear();
88 for(int j=1;j<=n;j++)
89 if (d0[j]<d[j])v[1].push_back(j);
90 if ((check())&&(n/v[1].size()>ans)){
91 ans=n/v[1].size();
92 for(int j=1;j<=ans;j++)ansv[j]=v[j];
93 }
94 }
95 if (!ans){
96 printf("1 %d\n",n);
97 for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",i);
98 return 0;
99 }
100 printf("%d %d\n",ans,n/ans);
101 for(int i=1;i<=ans;i++){
102 for(int j=0;j<ansv[i].size();j++)printf("%d ",ansv[i][j]);
103 printf("\n");
104 }
105 }

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