Luogu P2051「AHOI2009」中国象棋

看见第一眼觉得是状压 \(\text{DP}\)？观察数据范围发现不可做

那按照最常规思路设状态试试？

设状态为\(dp[i][j]\)表示\(i*j\)的棋盘的方案数

好像转移不了欸 要不再来一维？

\(dp[i][j][k]\)表示。。。 还是不行啊

要求的就是每行，每列都不能有三个及其以上的炮

所以一共就只有三种状态：没有，一个炮，两个炮

但是列与列之间交换位置是完全没有问题的

所以设状态为 \(dp[i][j][k]\) 做了 \(i\) 行，有 \(j\) 列放了一个炮，有 \(k\) 列放了两个炮

如果第 \(i\) 行不放，则有

\[dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k]
\]

放一个，则上一个状态一定是\(dp[i-1][j-1][k]\) 或者是 \(dp[i-1][j+1][k-1]\),由简单组合数学可得

\[dp[i][j][k]+=(m-k-(j-1))\cdot dp[i-1][j-1][k]+(j+1) \cdot dp[i-1][j+1][k-1]
\]

放两个，那一定从 \(dp[i-1][j][k-1]\) 或者 \(dp[i-1][j-2][k]\) 或者 \(dp[i-1][j+2][k-2]\)转移而来

则有(自己推式子感觉真好)

\[dp[i][j][k]+=(m-j-(k-1)) \cdot j\cdot dp[i-1][j][k-1]\\
dp[i][j][k]+={C}_{m-k-(j-2)}^{2} \cdot dp[i-1][j-2][k]\\
dp[i][j][k]+={C}_{j+2}^{2}*dp[i-1][j+2][k-2]\\
\]

然后就是处理边界问题了

估计要开 \(long\ long\)（狗头

贴代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=9999973;
const ll maxn=1e2+10;
ll n,m,dp[maxn][maxn][maxn];
ll C(ll num)
{
	return num*(num-1)/2;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	dp[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=m;++j)
			for(int k=0;j+k<=m;++k)
			{
				if(i-1>=0) dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k];
				if(k-1>=0) dp[i][j][k]+=(j+1)*dp[i-1][j+1][k-1];
				if(j-1>=0) dp[i][j][k]+=(m-k-(j-1))*dp[i-1][j-1][k];
				if(k-2>=0) dp[i][j][k]+=C(j+2)*dp[i-1][j+2][k-2];
				if(k-1>=0) dp[i][j][k]+=(m-j-(k-1))*j*dp[i-1][j][k-1];
				if(j-2>=0) dp[i][j][k]+=C(m-k-(j-2))*dp[i-1][j-2][k];
				dp[i][j][k]%=p;
			}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=m;++i)
		for(int j=0;i+j<=m;++j)
			ans=(ans+dp[n][i][j])%p;
	printf("%lld\n",(ans+p)%p);
	return 0;
}

\(\text{End.}\)