洛谷 P4240 - 毒瘤之神的考验（数论+复杂度平衡）

洛谷题面传送门

先扯些别的。

2021 年 7 月的某一天，我和 ycx 对话：

• tzc：你做过哪些名字里带“毒瘤”的题目，我做过一道名副其实的毒瘤题就叫毒瘤，是个虚树+dp
• ycx：还有毒瘤之神的考验
• tzc：？？？那是个啥？
• ycx：一道数论水题

然后我便做到了这个题，然后却发现它一点也不水……

跑题了跑题了

首先我们显然不可能硬着头皮算 \(\varphi(ij)\)，肯定要想办法将 \(\varphi(ij)\) 中的 \(i,j\) 独立开来。通过这题的套路可知 \(\varphi(ij)=\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\)，于是下面我们就可以开始推式子了：

\[\begin{aligned}
ans&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\varphi(ij)\\
&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\\
&=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\dfrac{d}{\varphi(d)}\sum\limits_{d\mid i}\sum\limits_{d\mid j}\varphi(i)\varphi(j)[\gcd(i,j)=d]\\
&=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\dfrac{d}{\varphi(d)}\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits_{j=1}^{m/d}\varphi(id)\varphi(jd)[i\perp j]\\
&=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\dfrac{d}{\varphi(d)}\sum\limits_{p=1}^{\min(n,m)/d}\mu(p)\sum\limits_{i=1}^{n/dp}\sum\limits_{j=1}^{m/dp}\varphi(idp)\varphi(jdp)
\end{aligned}
\]

如果我们记 \(f(n)=\sum\limits_{d\mid n}\dfrac{d}{\varphi(d)}·\mu(\dfrac{n}{d})\)，\(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^m\varphi(ni)\)，那么

\[\begin{aligned}
ans&=\sum\limits_{T=1}^{\min(n,m)}f(T)S(T,\lfloor\dfrac{n}{T}\rfloor)S(T,\lfloor\dfrac{m}{T}\rfloor)
\end{aligned}
\]

\(f\) 显然可以调和级数地求出，有用的 \(S(n,m)\) 的个数也是 \(n\ln n\) 级别的，因此暴力计算上式可实现 \(Tn+n\ln n\) 的复杂度，无法通过。直接整除分块看起来不太容易的亚子，这就使我们陷入了一个比较尴尬的局面。但是一个非常直观的 observation 是当 \(T\) 比较大时，可能的 \((\lfloor\dfrac{n}{T}\rfloor,\lfloor\dfrac{m}{T}\rfloor)\) 组成的二元组并不是特别多。因此考虑从这个角度入手。记 \(B=316\)，对于 \(T\le B\)，我们暴力计算即可，对于 \(T>B\)，写个程序算一下可以发现 \(\sum\limits_{i=317}^{10^5}\lfloor\dfrac{10^5}{i}\rfloor^2\) 只有大概 \(3\times 10^7\) 的样子，因此这部分我们就预处理时，暴力枚举所有可能的 \((\lfloor\dfrac{n}{T}\rfloor,\lfloor\dfrac{m}{T}\rfloor)\)，然后前缀和算一下贡献，这样每次询问整除分块即可求出这部分 \(T\) 的贡献。

时间复杂度 \(T\sqrt{n}+n\sqrt{n}+n\ln n\)，可以通过。

const int MAXN=1e5;
const int B=316;
int inv[MAXN+5],pr[MAXN/7+5],prcnt=0,phi[MAXN+5],vis[MAXN+5],f[MAXN+5],mu[MAXN+5];
vector<int> s[MAXN+5],ss[B+4][B+4];
void init(){
	for(int i=(inv[0]=inv[1]=1)+1;i<=MAXN;i++) inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	phi[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAXN;i++){
		if(!vis[i]) phi[i]=i-1,mu[i]=-1,pr[++prcnt]=i;
		for(int j=1;j<=prcnt&&pr[j]*i<=MAXN;j++){
			vis[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0){phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;}
			phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]];mu[i*pr[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAXN;i++) for(int j=i;j<=MAXN;j+=i)
		f[j]=(0ll+f[j]+1ll*i*inv[phi[i]]%MOD*mu[j/i]%MOD+MOD)%MOD;
	for(int i=1;i<=MAXN;i++){
		s[i].resize(MAXN/i+1);
		for(int j=1;j<=MAXN/i;j++) s[i][j]=(s[i][j-1]+phi[i*j])%MOD;
	}
	for(int i=1;i<=B+1;i++) for(int j=1;j<=B+1;j++){
		ss[i][j].pb(0);int sum=0;
		for(int k=B+1;k<=MAXN;k++){
			if(k*i>MAXN||k*j>MAXN) break;
			sum=(sum+1ll*f[k]*s[k][i]%MOD*s[k][j])%MOD;
			ss[i][j].pb(sum);
		}
	}
}
int main(){
	init();int qu;scanf("%d",&qu);
	while(qu--){
		int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);int res=0;
		for(int i=1;i<=B;i++) res=(res+1ll*f[i]*s[i][n/i]%MOD*s[i][m/i])%MOD;
		for(int l=B+1,r;l<=min(n,m);l=r+1){
			r=INF;
			if(n/l) chkmin(r,n/(n/l));
			if(m/l) chkmin(r,m/(m/l));
			res=(0ll+res+ss[n/l][m/l][r-B]-ss[n/l][m/l][l-B-1]+MOD)%MOD;
		}
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}