Stochastic Optimization of PCA with Capped MSG

Problem
Matrix Stochastic Gradient

从这里回溯到此文章，这篇文章得作者是之前那篇文章的第三作者，里头提到的算法也及其相似，所以算是前者的基础吧。

Problem

这篇文章同样是关于PCA（在线或者说随机），试图寻找一个合适的\(k-\)维的子空间去压缩数据。
普通的PCA，是下面的这种形式：
但是因为这是一个非凸的问题，所以并不容易求解（特征分解然后去前k个主向量忽略，因为这时在线的或者说随机的）。
论文将这个问题进行了第一步放缩：

但是\(rankM=k\)这个条件依然不是凸的。
第二次放缩：

这一次问题和条件都是凸的了，所以这就是一个凸优化问题了。不过，作者刻意提及（3.1）的原因是，可以证明，(3.2)的最优解可以分解为（3.1）的解的凸线性组合[Warmuth, Kuzmin 2008]。

Matrix Stochastic Gradient

每一次迭代，都将进行下面的步骤：

算法(MSG)

步骤二和步骤四会在下面讲到，问题是步骤三上，我不明白为什么需要取个平均值，我感觉直接取最后一个矩阵M就可以了。

步骤二（单次迭代）

算法

每一次迭代，都会先对\(M'+U'diag(\sigma')(U')^{\top}\)进行特征分解，但是并不是直接分解，而是使用了一个技巧，姑且称之为单步SVD，这个分解方法会利用之前\(M'\)的\(U'\)的结果。

单步SVD

为了方便，我们令\(\eta = 1\)且:

上面的算法就是先进行了单步SVD，然后再进行\(project()\)。为什么要进行这个\(project()\)呢，因为新的\(M\)并不满足（3.2）的\(tr(M)=k\)的条件，所以通过\(project()\)，映射到一个新的矩阵。
这个矩阵是唯一的，且满足下面的性质:

迹为k，同时矩阵的特征向量和原来一样
最大特征值不会超过1
唯一性由下面这个引理给出

\(project()\)算法

这个算法看起来复杂，但目的很单纯。

\(\sigma_1 \quad \sigma_2 \: \mathop{\uparrow}\limits^{i}\: \sigma_3\ldots\sigma_m \:\mathop{\uparrow}\limits^{j} \: \sigma_{m+1} \quad \sigma_{m+2} \quad\)

注意上面的\(m+2\)个奇异值(从小到大排列)，每个\(\sigma\)对应一个代表其个数\(\kappa\)。
\(i,j\)满足（i=0,1或者j=m+2为特殊情况）:
\(\sigma_{i-1} + S<0\) \(\quad \sigma_{j+1} + S\geq 1\)
\(S\)根据上面算法的式子算的，且可验证，这样的S是一定存在的。
则，进行下面操作:
小于\(\sigma_i\)的奇异值截为0，大于等于\(\sigma_{j+1}\)的奇异值截为1，
其余的保持为\(\sigma+S\)

就这么经过\(T\)步的岁月，\(M\)来到了生命的尽头，站在悬崖上，朝远处眺望，夕阳、红霞分外美丽：
“啊！我的迹是\(k\),可我的秩呢？”说罢，老泪纵横。
没错，辛苦了这么久，我们得到（3.2）的解，接下来，就需要\(Rounding(M)\)使得迹为\(k\)的\(M\)的秩变为\(k\)，这个问题，在之前的论文也提到了，当时不清楚，现在，其实也不怎么清楚，但好歹有个了解，不过我保证我讲不清楚，如果真的想知道，还是看论文吧——这是一种分解方法。

\(rounding()\)

来到：Here
Randomized Online PCA Algorithms with Regret Bounds that are Logarithmic in the Dimension
由Manfred K. Warmuth 和 Dima Kuzmi在08年发表的文章。

这篇论文挑个时间再好好看看吧，先把其中一部分在这里讲一下，但可能不对。

这里就只摆上三个算法吧。大概是这个意思，有个概率向量\(\mathsf{w}\),每个分量表示舍弃该主成分的概率，但我们都知道，舍弃了一部分，就会产生误差，\(\mathbb{l}\)就表示这个损失，每个分量表示舍弃该成分的一个损失（貌似单位化了）。
每次\(\mathsf{w}\)都会更新，根据损失。
论文稍微改进了一下，就是将\(\mathsf{w}\)分解为\(\mathop{\sum}\limits_{i}p_ir_i\)，每个\(r_i\)都有\(n-k\)个非零项\(\frac{1}{n-k}\)，这样，算法3就是先根据\(p_i\)采样到一个分解项\(r_j\)，\(r_j\)中的非零项，表示对应成分是要被舍弃的，根据损失，对\(\mathsf{w}\)进行更新，循环往复。
当然这个算法如何应用到矩阵的选择上，根据后面的描述，应该是利用SVD，然后将其中的对角序列，看成\(\mathsf{w}\)进行选择，不过具体的还没怎么看，到时候再说吧。