【AGC002F】Leftmost Ball DP 数学

题目大意

　　有\(n\)种颜色的球，每种\(m\)个。现在zjt把这\(nm\)个球排成一排，然后把每种颜色的最左边的球染成第\(n+1\)种颜色。求最终的颜色序列有多少种，对\(1000000007\)取模。

　　\(n,m\leq 2000\)

题解

　　我们称颜色为\(1\sim n\)的球为正常颜色的球，颜色为\(n+1\)的球为白球。

　　我们先钦定每种颜色最左边那个球的出现顺序为\(1\)~\(n\)，从左往右的第\(i\)个白球的球对应着第\(i\)个颜色。

　　考虑从后往前放，设当前序列最前面有\(x\)个白球的球，那么当前放的白球要放在最前面，其他\(m-1\)个正常颜色的球中最左边那个要放在当前最左边正常颜色的球的左边。剩下\(m-2\)个可以随便放。

　　设\(f_{i,j}\)为放了后\(i\)种颜色的球，序列最前面有\(j\)个白球。

\[f_{i,j}=\sum_{k\geq j-1}f_{i-1,k}\times \binom{im-j-1}{m-2}
\]

　　可以发现后面那个组合数和\(k\)无关，所以可以用后缀和优化

　　时间复杂度：\(O(nm)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=1000000007;
ll fac[4000010];
ll ifac[4000010];
ll inv[4000010];
void init(int n)
{
	int i;
	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		inv[i]=-(p/i)*inv[p%i]%p;
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
		ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
	}
}
ll c(int x,int y)
{
	if(x<y)
		return 0;
	return fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p;
}
ll f[2010][2010];
int main()
{
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	if(k<=1)
	{
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	init(n*k);
	int i,j;
	f[0][0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=n;j>=0;j--)
		{
			if(j<=i)
				f[i][j]+=f[i-1][j-1]*c(k*i-j-1,k-2)%p;
			f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j+1])%p;
		}
	ll ans=(f[n][0]%p+p)%p;
	ans=ans*fac[n]%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}