整理一下数学建模会用到的算法，供比赛时候参考食用。

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旅行商问题（TSP）：

给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。

它是组合优化中的一个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。

以下两个程序，在不同数据集合情况下表现有所差别，理论上第一个程序的解更为优化。

clear

clc

a = 0.99;       %温度衰减函数的参数

t0 = ;        %初始温度

tf = ;         %终止温度

t = t0;

Markov_length = ;  %Markov链长度

% load data.txt

% x = data(:, ::); x = x(:);

% y = data(:, ::); y = y(:);

% data = [,;x, y];

% coordinates = data;

coordinates = [

        565.0   575.0;      25.0   185.0;     345.0   750.0;

        945.0   685.0;     845.0   655.0;     880.0   660.0;

         25.0   230.0;     525.0  1000.0;     580.0  1175.0;

       650.0  1130.0;   1605.0   620.0;   1220.0   580.0;

      1465.0   200.0;   1530.0     5.0;    845.0   680.0;

       725.0   370.0;    145.0   665.0;    415.0   635.0;

       510.0   875.0;    560.0   365.0;    300.0   465.0;

       520.0   585.0;    480.0   415.0;    835.0   625.0;

       975.0   580.0;   1215.0   245.0;   1320.0   315.0;

      1250.0   400.0;    660.0   180.0;    410.0   250.0;

       420.0   555.0;    575.0   665.0;   1150.0  1160.0;

       700.0   580.0;    685.0   595.0;    685.0   610.0;

       770.0   610.0;    795.0   645.0;    720.0   635.0;

       760.0   650.0;    475.0   960.0;     95.0   260.0;

       875.0   920.0;    700.0   500.0;    555.0   815.0;

       830.0   485.0;   1170.0    65.0;    830.0   610.0;

       605.0   625.0;    595.0   360.0;   1340.0   725.0;

      1740.0   245.0;

    ];

coordinates(:,) = [];

amount = size(coordinates,);        %城市的数目

%通过向量化的方法计算距离矩阵

dist_matrix = zeros(amount,amount);

coor_x_tmp1 = coordinates(:,) * ones(,amount);

coor_x_tmp2 = coor_x_tmp1';

coor_y_tmp1 = coordinates(:,) * ones(,amount);

coor_y_tmp2 = coor_y_tmp1';

dist_matrix = sqrt((coor_x_tmp1 - coor_x_tmp2).^ + (coor_y_tmp1 - coor_y_tmp2).^);

sol_new = :amount;         %产生初始解，sol_new是每次产生的新解

sol_current = sol_new;      %sol_current是当前解

sol_best = sol_new;         %sol_best是冷却中的最好解

E_current = inf;            %E_current是当前解对应的回路距离

E_best = inf;               %E_best是最优解

p = ;

rand('state', sum(clock));

for j = :

    sol_current = [randperm(amount)];

    E_current = ;

    for i=:(amount-)

        E_current = E_current+dist_matrix(sol_current(i), sol_current(i+));

    end

    if E_current<E_best

        sol_best = sol_current;

        E_best = E_current;

    end

end

while t >= tf

   for r = :Markov_length      %Markov链长度

    %产生随机扰动

    if(rand < 0.5)

        %两交换

        ind1 = ;

        ind2 = ;

        while(ind1 == ind2)

           ind1 = ceil(rand * amount);

           ind2 = ceil(rand * amount);

        end

        tmp1 = sol_new(ind1);

        sol_new(ind1) = sol_new(ind2);

        sol_new(ind2) = tmp1;

    else

        %三交换

        ind=ceil(amount*rand(,));

        ind = sort(ind);

        sol_new = sol_new(, [:ind()-, ind()+:ind(),ind():ind(),ind()+:end]);

    end

    %检查是否满足约束

    %计算目标函数值（即内能）

    E_new = ;

    for i = :(amount - )

        E_new = E_new + dist_matrix(sol_new(i),sol_new(i + ));

    end

    %再算上从最后一个城市到第一个城市的距离

    E_new = E_new + dist_matrix(sol_new(amount),sol_new());

    if E_new < E_current

        E_current = E_new;

        sol_current = sol_new;

        if E_new < E_best

            E_best = E_new;

            sol_best = sol_new;

        end

    else

        %若新解的目标函数值大于当前解，

        %则仅以一定概率接受新解

        if rand < exp(-(E_new - E_current) / t)

            E_current = E_new;

            sol_current = sol_new;

        else

            sol_new = sol_current;

        end

    end

   end

   t = t * a;      %控制参数t（温度）减少为原来的a倍

end

E_best = E_best+dist_matrix(sol_best(end), sol_best());

disp('最优解为:');

disp(sol_best);

disp('最短距离:');

disp(E_best);

data1 = zeros(length(sol_best), );

for i = :length(sol_best)

    data1(i, :) = coordinates(sol_best(,i), :);

end

data1 = [data1; coordinates(sol_best(,),:)];

figure

plot(coordinates(:,)', coordinates(:,2)', '*k', data1(:,)', data1(:, 2)', 'r');

title( [ '近似最短路径如下，路程为' , num2str( E_best ) ] ) ;

另一种根据《数学建模算法与应用—司守奎》中算法改编：

clc;

clear;

close all;

coordinates = [

         25.0   185.0;     345.0   750.0;

        945.0   685.0;     845.0   655.0;     880.0   660.0;

         25.0   230.0;     525.0  1000.0;     580.0  1175.0;

       650.0  1130.0;   1605.0   620.0;   1220.0   580.0;

      1465.0   200.0;   1530.0     5.0;    845.0   680.0;

       725.0   370.0;    145.0   665.0;    415.0   635.0;

       510.0   875.0;    560.0   365.0;    300.0   465.0;

       520.0   585.0;    480.0   415.0;    835.0   625.0;

       975.0   580.0;   1215.0   245.0;   1320.0   315.0;

      1250.0   400.0;    660.0   180.0;    410.0   250.0;

       420.0   555.0;    575.0   665.0;   1150.0  1160.0;

       700.0   580.0;    685.0   595.0;    685.0   610.0;

       770.0   610.0;    795.0   645.0;    720.0   635.0;

       760.0   650.0;    475.0   960.0;     95.0   260.0;

       875.0   920.0;    700.0   500.0;    555.0   815.0;

       830.0   485.0;   1170.0    65.0;    830.0   610.0;

       605.0   625.0;    595.0   360.0;   1340.0   725.0;

      1740.0   245.0;

    ];

coordinates(:,) = [];

data = coordinates;

% 读取数据

% load data.txt;

% x = data(:, ::); x = x(:);

% y = data(:, ::); y = y(:);

x = data(:, );

y = data(:, );

start = [565.0   575.0];

data = [start; data;start];

% data = [start; x, y;start];

% data = data*pi/;

% 计算距离的邻接表

count = length(data(:, ));

d = zeros(count);

for i = :count-

    for j = i+:count

%         temp = cos(data(i, )-data(j,))*cos(data(i,))*cos(data(j,))...

%             +sin(data(i,))*sin(data(j,));

         d(i,j)=( sum( ( data( i , : ) - data( j , : ) ) .^  ) ) ^ 0.5 ;

%         d(i,j) = *acos(temp);

    end

end

d =d + d';  % 对称  i到j==j到i

S0=[];          % 存储初值

Sum=inf;     % 存储总距离

rand('state', sum(clock));

% 求一个较为优化的解，作为初值

for j = :

    S = [ +randperm(count-), count];

    temp = ;

    for i=:count-

        temp = temp+d(S(i), S(i+));

    end

    if temp<Sum

        S0 = S;

        Sum = temp;

    end

end

e = 0.1^;   % 终止温度

L = ;     % 最大迭代次数

at = 0.999999;     % 降温系数

T = ;             % 初温

% 退火过程

for k = :L

    % 产生新解

    c =+floor((count-)*rand(,));

    c = sort(c);

    c1 = c();  c2 = c();

    if c1==

        c1 = c1+;

    end

    if c2==

        c2 = c2+;

    end

    % 计算代价函数值

    df = d(S0(c1-), S0(c2))+d(S0(c1), S0(c2+))-...

        (d(S0(c1-), S0(c1))+d(S0(c2), S0(c2+)));

    % 接受准则

    if df<

        S0 = [S0(: c1-), S0(c2:-:c1), S0(c2+:count)];

        Sum = Sum+df;

    elseif exp(-df/T) > rand()

        S0 = [S0(: c1-), S0(c2:-:c1), S0(c2+:count)];

        Sum = Sum+df;

    end

    T = T*at;

    if T<e

        break;

    end

end

data1 = zeros(, count);

% y1 = [start; x, y; start];

for i =:count

   data1(:, i) = data(S0(,i), :)';

end

figure

plot(x, y, 'o', data1(, :), data1(, :), 'r');

title( [ '近似最短路径如下，路程为' , num2str( Sum ) ] ) ;

disp(Sum);

S0

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