笔试算法题（38）：并查集（Union-Find Sets）

议题：并查集（Union-Find Sets）

分析：

• 一种树型数据结构，用于处理不相交集合（Disjoint Sets）的合并以及查询；一开始让所有元素独立成树，也就是只有根节点的树；然后根据需要将关联的元素（树）进行合并；合并的方式仅仅是将一棵树最原始的节点的父亲索引指向另一棵树；

• 优化：加入一个rank数组存储节点深度的下界（从当前节点到其最远子节点的距离），从而可以启发式的对树进行合并，从而减少树的深度，防止树的退化；使 得包含较少节点的树根指向包含较多节点的树根，具体指代为树的高度；另一个优化就是路径压缩，尽可能将子节点都直接连接到根节点之后；

• 并查集的空间复杂度为O(N)，构建一个集合的时间复杂度为O(N)；压缩后的查找复杂度是一个很小的常数；应用：Kruskal算法求最小生成树中判断新加入的边是否在同一棵树内部；两个节点的最近公共祖先(Least Common Ancestors)；

• 初始化father：各个节点独立成树，并且其father[i]=i，也就是其父节点就是其自身；

  father[i]
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  初始化rank：各个节点为根节点，所以高度都为1；
  rank[i]
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

  合并2和6：由于rank[2]=rank[6]，所以将2的父亲索引指向6，这样2和6就在同一棵树；并需将6的rank值增加1；
  father[i]
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  0 1 6 3 4 5 6 7 8 9
  rank[i]
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

样例：

 int *father;
 int *rank;

 /**
  * 并查集的初始化：
  * 数组father中的元素在最开始ide时候都是独立的树，也就是只有根节点
  * 的树，数组father的下标i表示节点，而father[i]的值表示i节点的父亲
  * 节点；rank[i]=1表示一开始所有树节点的高度都为1
  * */
 void init(int cap) {
         father=new int[cap];
         rank=new int[cap];
         /**
          * 时间复杂度为O(N)
          * */
         for(int i=;i<;i++) {
                 father[i]=i;
                 rank[i]=;
         }
 }

 void clean() {
         delete [] father;
         delete [] rank;
 }
 /**
  * 查找元素所在的集合并进行路劲压缩：
  * 由于需要频繁使用GetFather（）函数，并且其时间复杂度受树结构影响；
  * 当元素较多的时候，集合退化成链表，则GetFather()需要O(N)，所以
  * 需要对其进行优化，每次调用GetFather（）的时候都将输入元素压缩成
  * 最原始父亲节点的直接子节点
  * */
 int GetFather(int son) {
         if(father[son]==son)
                 return son;
         else {
                 father[son]=GetFather(father[son]);
                 return father[son];
         }
 }

 /**
  * 合并两个不相交的集合:
  * 输入元素x和y来自两个不相交的集合，找到其最原始的父亲节点
  * 并将一个原始父亲节点设置为另一个原始父亲节点的父亲节点
  * */
 void Union1(int x, int y) {
         /**
          * GetFather()为递归寻找输入节点的最原始的父亲节点
          * */
         int fx=GetFather(x);
         int fy=GetFather(y);
         /**
          * 判断x和y是否来自同一棵树，如果不是才进行赋值；其实可以
          * 不同进行判断（省去if语句）
          * 注意最原始父亲节点的father[i]=i;
          * */
         if(fx!=fy)
                 father[fx]=fy;
 }

 /**
  * 利用rank加权数组启发式进行合并
  * */
 void Union2(int x, int y) {
         int fx=GetFather(x);
         int fy=GetFather(y);

         if(fx==fy) return;
         /**
          * rank[fx]较大，说明其越靠近根节点，则将
          * fy连接到其后面可以压缩路径
          * */
         if(rank[fx]>rank[fy])
                 father[fy]=fx;
         else {
                 if(rank[fx]==rank[fy])
                         rank[fy]++;
                 father[fx]=fy;
         }
 }

 /**
  * 判断两个元素是否属于同一个集合：
  * 利用GetFather（）函数判断其最原始父亲节点是否相同
  * */
 bool IsSameSet(int x, int y) {
         return GetFather(x)==GetFather(y);
 }