[ SDOI 2006 ] 保安站岗

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Description

给出一棵 $n$ 个节点以 $1$ 为根的树，一个节点的覆盖半径是 $1$ ，点有点权 $val_x$ 。

选择一些点，使得点权和最小，同时每个节点要么被选择要么被周围的点覆盖。

$n\le 1500,0\le val_x\le 10^4$

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Solution

树形DP 的讨论。

注意到覆盖有可能呈现出两层都没有选点的情况 (下面被子树覆盖，上面被父节点覆盖)，所以状态设计要注意。

设$f[i][0/1/2]$，表示节点 $i$ 及其子树的覆盖代价，明确定义：

$0$ 表示选择自己，覆盖整个子树的最小代价
$1$ 表示第 $i$ 个节点被自己的子树的根节点覆盖，不选择自己的最小代价
$2$ 表示第 $i$ 个节点被父节点覆盖，此时当前节点的所有子树都已经完成覆盖的最小代价

转移讨论起来就很方便了。

$0$ ：显然要选自己，所以所有子树选什么都合法，对每个子树累加 $min(f[v][0],f[v][1],f[v][2])$ 。

$2$：不选自己，子树内部显然不能再向当前点提出需求，所以对子树累加 $min(f[v][0],f[v][1])$ 。

$1$ 的转移有点意思。

如果我们贪心的选，选择 $0$ 状态最小的子树，剩下的子树都选 $1$ 状态，不一定是最优的。

因为这个 $0$ 状态最小的子树，他的 $1$ 状态可能会更小的多，这个差值完全能够允许另一个 $1$ 状态变成 $0$ 状态。

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所以考虑替换, $yy$ 出来一个比较好的写法。

先对所有子树求出 $sum=min(f[v][0],f[v][1])$ 。

同时维护 $tmp=min(\ f[v][0]-\min(f[v][0],f[v][1])\ )$。

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这个 $sum$ 的含义是，不考虑子树覆盖当前节点，子树内部覆盖的最小值，可以发现其实就是 $f[u][2]$ 。

$tmp$ 的含义就是，把这个 $sum$ 集合里的任意一个点不管之前选的什么，现在变成 $0$ 状态的最小代价。

如果之前求 $sum$ 的时候选了一个 $0$ 状态，那么这个 $tmp$ 显然是 $0$ 。

如果之前没有选到任意一个 $0$ 状态，那么这个 $tmp$ 就是所有的 $1$ 状态里，变成 $0$ 状态的最小代价。

所以有 $f[v][1]=f[v][2]+tmp$ 。

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Code

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define N 1510

#define gc getchar

#define R register

#define inf 2000000000

using namespace std;

inline int rd(){

  int x=0; bool f=0; char c=gc();

  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}

  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}

  return f?-x:x;

}

int n,m,tot,hd[N],f[N][3],val[N];

struct edge{int to,nxt;}e[N<<1];

inline void add(int u,int v){

  e[++tot].to=v; e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;

}

//0: 选自己

//1: 选子树内覆盖自己

//2：选父节点覆盖自己

void dfs(int u,int fa){

  int mn=inf;

  f[u][0]=val[u]; f[u][2]=0;

  for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)

    if((v=e[i].to)!=fa){

      dfs(v,u);

      f[u][0]+=min(f[v][2],min(f[v][1],f[v][0]));

      f[u][2]+=min(f[v][1],f[v][0]);

      mn=min(mn,f[v][0]-min(f[v][1],f[v][0]));

    }

    f[u][1]=f[u][2]+mn;

}

int main(){

  n=rd();

  memset(f,0x3f,sizeof(f));

  for(R int i=1,u,cnt;i<=n;++i){

    u=rd(); val[u]=rd(); cnt=rd();

    for(R int j=1,v;j<=cnt;++j){v=rd();add(u,v);add(v,u);}

  }

  dfs(1,0);

  printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][1]));

  return 0;

}