[ SDOI 2006 ] 保安站岗

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Description

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给出一棵 \(n\) 个节点以 \(1\) 为根的树，一个节点的覆盖半径是 \(1\) ，点有点权 \(val_x\) 。

选择一些点，使得点权和最小，同时每个节点要么被选择要么被周围的点覆盖。

• \(n\le 1500,0\le val_x\le 10^4\)

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Solution

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树形DP 的讨论。

注意到覆盖有可能呈现出两层都没有选点的情况 (下面被子树覆盖，上面被父节点覆盖)，所以状态设计要注意。

设\(f[i][0/1/2]\)，表示节点 \(i\) 及其子树的覆盖代价，明确定义：

• \(0\) 表示选择自己，覆盖整个子树的最小代价
• \(1\) 表示第 \(i\) 个节点被自己的子树的根节点覆盖，不选择自己的最小代价
• \(2\) 表示第 \(i\) 个节点被父节点覆盖，此时当前节点的所有子树都已经完成覆盖的最小代价

转移讨论起来就很方便了。

\(0\) ：显然要选自己，所以所有子树选什么都合法，对每个子树累加 \(min(f[v][0],f[v][1],f[v][2])\) 。

\(2\)：不选自己，子树内部显然不能再向当前点提出需求，所以对子树累加 \(min(f[v][0],f[v][1])\) 。

\(1\) 的转移有点意思。

如果我们贪心的选，选择 \(0\) 状态最小的子树，剩下的子树都选 \(1\) 状态，不一定是最优的。

因为这个 \(0\) 状态最小的子树，他的 \(1\) 状态可能会更小的多，这个差值完全能够允许另一个 \(1\) 状态变成 \(0\) 状态。

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所以考虑替换, \(yy\) 出来一个比较好的写法。

先对所有子树求出 \(sum=min(f[v][0],f[v][1])\) 。

同时维护 \(tmp=min(\ f[v][0]-\min(f[v][0],f[v][1])\ )\)。

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这个 \(sum\) 的含义是，不考虑子树覆盖当前节点， 子树内部覆盖的最小值，可以发现其实就是 \(f[u][2]\) 。

\(tmp\) 的含义就是，把这个 \(sum\) 集合里的任意一个点不管之前选的什么，现在变成 \(0\) 状态的最小代价。

如果之前求 \(sum\) 的时候选了一个 \(0\) 状态，那么这个 \(tmp\) 显然是 \(0\) 。

如果之前没有选到任意一个 \(0\) 状态，那么这个 \(tmp\) 就是所有的 \(1\) 状态里，变成 \(0\) 状态的最小代价。

所以有 \(f[v][1]=f[v][2]+tmp\) 。

\(\\\)

Code

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1510
#define gc getchar
#define R register
#define inf 2000000000
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

int n,m,tot,hd[N],f[N][3],val[N];

struct edge{int to,nxt;}e[N<<1];

inline void add(int u,int v){
  e[++tot].to=v; e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;
}

//0: 选自己
//1: 选子树内覆盖自己
//2：选父节点覆盖自己

void dfs(int u,int fa){
  int mn=inf;
  f[u][0]=val[u]; f[u][2]=0;
  for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
    if((v=e[i].to)!=fa){
      dfs(v,u);
      f[u][0]+=min(f[v][2],min(f[v][1],f[v][0]));
      f[u][2]+=min(f[v][1],f[v][0]);
      mn=min(mn,f[v][0]-min(f[v][1],f[v][0]));
    }
    f[u][1]=f[u][2]+mn;
}

int main(){
  n=rd();
  memset(f,0x3f,sizeof(f));
  for(R int i=1,u,cnt;i<=n;++i){
    u=rd(); val[u]=rd(); cnt=rd();
    for(R int j=1,v;j<=cnt;++j){v=rd();add(u,v);add(v,u);}
  }
  dfs(1,0);
  printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][1]));
  return 0;
}