UVa 1626 - Brackets sequence（区间DP）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4501

题意：

定义如下正规括号序列（字符串）：
1.空序列是正规括号序列。
2.如果S是正规括号序列，那么(S)和[S]也是正规括号序列。
3.如果A和B都是正规括号序列，那么AB也是正规括号序列。
输入一个长度不超过100的，由“(”、“)”、“[”、“]”构成的序列，添加尽量少的括号，得到一个正规序列。
如有多解，输出任意一个序列即可。

分析：

设串S至少需要增加d(S)个括号，转移如下：
1.如果S形如(S′)或者[S′]，转移到d(S′)。
2.如果S至少有两个字符，则可以分成AB，转移到d(A)＋d(B)。
边界是：S为空时d(S)=0，S为单字符时d(S)=1。
注意：不管S是否满足第一种，都要尝试第二种转移，否则“[][]”会转移到“][”，然后就只能加两个括号了。
设d(i,j)表示子串S[i～j]至少需要添加几个括号。
对于第一种，状态转移方程为：d(i,j) = d(i+1, j-1)。
对于第二种，状态转移方程为：d(i,j) = min{d(i, k) + d(k+1, j) | i ≤ k < j}。
可以在打印解的时候重新检查一下哪个决策最好。
最后，这题的输入输出有点坑。。。

代码：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 const int UP =  + ;
 char s[UP];
 int d[UP][UP]; // d[L][R]表示子串s[L～R]至少需要添加几个括号

 bool match(char L, char R){
     return (L == '(' && R == ')') || (L == '[' && R == ']');
 }

 void dynamic_programming(int len){
     for(int i = ; i < len; i++){
         d[i][i] = ;
         d[i+][i] = ;
     }
     for(int L = len - ; L >= ; L--){
         for(int R = L + ; R < len; R++){
             int& v = d[L][R];
             v = match(s[L], s[R]) ? d[L+][R-] : ;
             for(int M = L; M < R; M++) v = min(v, d[L][M] + d[M+][R]);
         }
     }
 }

 void output(int L, int R){
     if(L > R) return;
     if(L == R){
         if(s[L] == '(' || s[L] == ')') printf("()");
         else printf("[]");
         return;
     }
     int ans = d[L][R];
     if(match(s[L], s[R]) && d[L+][R-] == ans){
         printf("%c", s[L]);  output(L+, R-);  printf("%c", s[R]);
         return;
     }
     for(int M = L; M < R; M++) if(d[L][M] + d[M+][R] == ans){
         output(L, M);  output(M+, R);
         return;
     }
 }

 int main(){
     int T;
     scanf("%d", &T);
     getchar();
     while(T--){
         gets(s);  gets(s);
         int len = strlen(s);
         dynamic_programming(len);
         output(, len - );  printf("\n");
         if(T) printf("\n");
     }
     return ;
 }

最后，再贴一下我一开始的代码，状态的转移有点不同：当s[L]与s[M]不匹配时，d(L,M)转移到d(L+1,M)+1。

递推写法：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 const int UP =  + ;
 char s[UP];
 int d[UP][UP], ans[UP][UP];

 int diff(int L, int R){
     if(s[L] == '(') return s[R] != ')';
     if(s[L] == '[') return s[R] != ']';
     return ;
 }

 void dynamic_programming(int len){
     for(int i = ; i < len; i++){
         d[i][i] = ;
         d[i+][i] = ;
     }
     for(int L = len - ; L >= ; L--){
         for(int R = L + ; R < len; R++){
             d[L][R] = ;
             for(int M = L; M <= R; M++){
                 int f = diff(L, M);
                 int v = f + d[L+][M-+f] + d[M+][R];
                 if(d[L][R] > v){
                     d[L][R] = v;
                     ans[L][R] = M;
                 }
             }
         }
     }
 }

 void output(int L, int R){
     if(L > R) return;
     if(L == R){
         if(s[L] == '(' || s[L] == ')') printf("()");
         else printf("[]");
         return;
     }
     int M = ans[L][R];
     if(L == M){
         output(L, M);  output(M+, R);
         return;
     }
     printf("%c", s[L]);
     if(!diff(L, M)) output(L+, M-), printf("%c", s[M]);
     else output(L+, M), printf("%c", s[L] == '(' ? ')' : ']');
     output(M+, R);
 }

 int main(){
     int T;
     scanf("%d", &T);
     getchar();
     while(T--){
         gets(s);  gets(s);
         int len = strlen(s);
         dynamic_programming(len);
         output(, len - );  printf("\n");
         if(T) printf("\n");
     }
     return ;
 }

记忆化写法（比递推写法慢几倍）：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int UP =  + ;
 int d[UP][UP], ans[UP][UP];
 char s[UP];

 int diff(int L, int R){
     if(s[L] == '(') return s[R] != ')';
     if(s[L] == '[') return s[R] != ']';
     return ;
 }

 int dp(int L, int R){
     if(L > R) return ;
     if(L == R) return ;
     int& v = d[L][R];
     if(v != INF) return v;

     for(int M = L; M <= R; M++){
         int f = diff(L, M);
         int res = f + dp(L+, M-+f) + dp(M+, R);
         if(v > res){
             v = res;
             ans[L][R] = M;
         }
     }
     return v;
 }

 void output(int L, int R){
     if(L > R) return;
     if(L == R){
         if(s[L] == '(' || s[L] == ')') printf("()");
         else printf("[]");
         return;
     }
     int M = ans[L][R];
     if(L == M){
         output(L, M);  output(M+, R);
         return;
     }
     printf("%c", s[L]);
     if(!diff(L, M)) output(L+, M-), printf("%c", s[M]);
     else output(L+, M), printf("%c", s[L] == '(' ? ')' : ']');
     output(M+, R);
 }

 int main(){
     int T;
     scanf("%d", &T);
     getchar();
     while(T--){
         gets(s);  gets(s);
         memset(d, INF, sizeof(d));
         dp(, strlen(s) - );
         output(, strlen(s) - );
         printf("\n");
         if(T) printf("\n");
     }
     return ;
 }