二分图&网络流&最小割等问题的总结

二分图基础：

最大匹配：匈牙利算法

最小点覆盖=最大匹配

最小边覆盖=总节点数-最大匹配

最大独立集=点数-最大匹配

网络流：

技巧：

1.拆点为边，即一个点有限制，可将其转化为边

BZOJ1066,BZOJ1305

2.考虑左右两部，即比如横竖、男女、比赛和人等。

BZOJ1532

带下界网络流问题

----------------------转自zyf-zyf

ss和tt为附加源或者说超级源

1.无源汇上下界可行流

对于（u,v）有向边，上界为a，下界为b 构图方法为：

（1） ss 到 v 容量为 b

（2） u 到 tt 容量为 b

（3） u 到 v 容量为 a-b

求ss-tt最大流，当且仅当 maxflow=sigma（i,tt）=sigma（ss,i） 时 存在可行流

2.有源汇上下界最小流

如果发现原图有源汇，要先转化为无源汇

其他点如1方法，建图，另加 t-s 容量为 inf

求一遍 ss-tt最大流，此时s-t的流量为 t-s这条边的反向边的流量，记为 x

在残量网络中删去 t-s 边，具体方法为 e[i].v:=0 e[i xor 1].v:=0

求一遍 t-s最大流（注意是 t-s），记此时的最大流为y

则最小可行流为x-y （可以理解为求出一个可行流，然后退掉了一些无用流）

3.有源汇上下界最大流

构图如2，只是求完ss-tt最大流后，不做记录，也不删边，直接在残量网络上求s-t最大流，即为答案

（可以理解为，求出一个可行流后，发现还可现流更多的流，就求s-t最大流 之所以可以不删边

是因为第一次ss-tt最大流完了之后s-t的流量存在 t-s的反向边s-t中，在跑s-t最大流的时候已经将其算入答案）

题目：BZOJ2502、BZOJ2150、BZOJ1458、BZOJ3876

----------------------end

流量平衡方程构图法：

例子：noi2008志愿者招募，bzoj1283序列

列出式子，添加辅助变量变成等式。上下相减。

常数和为0，将每个式子当作一个点

常数为正，则(s,x)，容量为常数，费用为0

常数为负，则(x,t) 容量为常数绝对值，费用为0

对于每个变量，正的向负的连容量为inf，费用根据题目。（辅助变量费用为0）

然后就可以费用流解决啦

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费用与流量平方 ——拆边，费用分别为1,3,5,7,9....

最小割问题的总结：

*意义

1.加inf的边表示不能被割，通常用于体现某个点必须属于某个集合

连边（s，u，w）代表如果u不在s割的话需要付出代价w

2.连边（u，v，w）代表如果u在s割，v在t割需要付出代价w 但注意，如果u在t割，v在s割是不需要付出代价的。 那么如果连边（u，v，w）以及（v，u，w）则说明当u与v所属割不同的时候需要付出代价w

*技巧

0.当求一些最大问题时，常常用sum减去代价

这个代价要求最小，于是可以用最小割解决

1.两个点i，j属于不同集合时付出val代价

新建点k (s,k,val) (k,i,inf) (k,j,inf)

当vals,valt不同时通常要新建点

但当相同时，可以直接（u，v，w）（v，u，w）表示不在一个集合就付出w代价

----------其实这就是最大权闭合子图的解决方法，因为两点必须在同一集合，所以他们之间可以连inf的边表示不可分离

例题：BZOJ1497,BZOJ2127，BZOJ1934

2.两个点属于同一集合付出val代价

这个时候通常图的性质是二分图。（求打脸

然后我们可以将两部点的性质翻转一下，即左部点连s表示选，右部点连t表示选。

所以转化后问题变为了第一个。且只需 （i，j,val) (j,i,val)

例题：BZOJ1976,BZOJ2132,BZOJ3275

3.如果有负权

比如一个点属于s集合收益x,属于t集合收益y,  (x,y可能为负数），两个点之间还有二元关系(二分图)，即一个点有可能选择负收益，求最大收益

还是先按照技巧0，将所有正权可能的收益加起来，考虑去掉最小代价

普通的二元关系等通过技巧2、3建边

那负权收益如何处理呢？考虑将负权应该连向的边s和t交换，权值再取反。

因为一开始的最大值中就没有加负权，如果要割断该点，一定是正权边和负权边一起被割断，答案合法。如果不在此处隔断，即两边均不需割，答案不变，恰好是取正权的答案。

（语死早，还不肯定自己讲的是对的23333

相关论文：彭天翼 《浅谈一类最小割问题》