PCA图

R语言PCA

1、关键点

综述：主成分分析 因子分析 典型相关分析，三种方法的共同点主要是用来对数据降维处理的从数据中提取某些公共部分，然后对这些公共部分进行分析和处理。

#主成分分析 是将多指标化为少数几个综合指标的一种统计分析方法

主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化成少数几个主成分的方法，这些主成分能够反映原始变量的大部分信息，他们通常表示为原始变量的线性组合。

2、函数总结

#R中作为主成分分析最主要的函数是princomp()函数
#princomp()主成分分析   可以从相关阵或者从协方差阵做主成分分析
#summary()提取主成分信息 
#loadings()显示主成分分析或因子分析中载荷的内容
#predict()预测主成分的值 
#screeplot()画出主成分的碎石图 
#biplot()画出数据关于主成分的散点图和原坐标在主成分下的方向

3、案例

#现有30名中学生身高、体重、胸围、坐高数据，对身体的四项指标数据做主成分分析。

#1.载入原始数据
test<-data.frame(
  X1=c(148, 139, 160, 149, 159, 142, 153, 150, 151, 139,
           140, 161, 158, 140, 137, 152, 149, 145, 160, 156,
           151, 147, 157, 147, 157, 151, 144, 141, 139, 148),
  X2=c(41, 34, 49, 36, 45, 31, 43, 43, 42, 31,
           29, 47, 49, 33, 31, 35, 47, 35, 47, 44,
           42, 38, 39, 30, 48, 36, 36, 30, 32, 38),
  X3=c(72, 71, 77, 67, 80, 66, 76, 77, 77, 68,
          64, 78, 78, 67, 66, 73, 82, 70, 74, 78,
          73, 73, 68, 65, 80, 74, 68, 67, 68, 70),
  X4=c(78, 76, 86, 79, 86, 76, 83, 79, 80, 74,
           74, 84, 83, 77, 73, 79, 79, 77, 87, 85,
           82, 78, 80, 75, 88, 80, 76, 76, 73, 78)
  )

#2.作主成分分析并显示分析结果
test.pr<-princomp(test,cor=TRUE)  #cor是逻辑变量当cor=TRUE表示用样本的相关矩阵R做主成分分析

当cor=FALSE表示用样本的协方差阵S做主成分分析
summary(test.pr,loadings=TRUE)  #loading是逻辑变量当loading=TRUE时表示显示loading 的内容

#loadings的输出结果为载荷是主成分对应于原始变量的系数即Q矩阵

分析结果含义
#----Standard deviation 标准差   其平方为方差=特征值
#----Proportion of Variance  方差贡献率
#----Cumulative Proportion  方差累计贡献率

#由结果显示 前两个主成分的累计贡献率已经达到96% 可以舍去另外两个主成分 达到降维的目的

因此可以得到函数表达式 Z1=-0.497X'1-0.515X'2-0.481X'3-0.507X'4

Z2=  0.543X'1-0.210X'2-0.725X'3-0.368X'4

#4.画主成分图并预测

screeplot(test.pr,type="lines")

p<-predict(test.pr)

由图可以看出 第二个主成分之后 图线变化趋于平稳 因此可以选择前两个主成分做分析

PCA是一种常见的数据降维算法

其核心思想非常的简单：寻找一个低维的超平面，使所有样本和其在该低维超平面上的投影间的距离和最小

数据降维的常见使用场景如下：

• 发掘样本间隐藏的联系
• 去除样本中冗余的属性和噪声
• 对样本进行可视化（3维以上的数据难以可视化）
• 减少数据容量、加速学习速度

主成分分析法优缺点

　　优点：

　　①可消除评估指标之间的相关影响。因为主成分分析法在对原始数据指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成分，而且实践证明指标间相关程度越高，主成分分析效果越好。

　　②可减少指标选择的工作量，对于其他评估方法，由于难以消除评估指标间的相关影响，所以选择指标时要花费不少精力，而主成分分析法由于可以消除这种相关影响，所以在指标选择上相对容易些。

　　③主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列顺序的，在分析问题时，可以舍弃一部分主成分，只取前面方差较大的几个主成分来代表原变量，从而减少了计算工作量。用主成分分析法作综合评估时，由于选择的原则是累计贡献率≥85%，不至于因为节省了工作量却把关键指标漏掉而影响评估结果。

　　缺点：

　　①在主成分分析中，我们首先应保证所提取的前几个主成分的累计贡献率达到一个较高的水平（即变量降维后的信息量须保持在一个较高水平上），其次对这些被提取的主成分必须都能够给出符合实际背景和意义的解释（否则主成分将空有信息量而无实际含义）。

　　②主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清楚、确切，这是变量降维过程中不得不付出的代价。因此，提取的主成分个数m通常应明显小于原始变量个数p（除非p本身较小），否则维数降低的“利”可能抵不过主成分含义不如原始变量清楚的“弊”。

　　③当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。