bzoj4807 車

题目大意：

Description

众所周知，車是中国象棋中最厉害的一子之一，它能吃到同一行或同一列中的其他棋子。車跟車显然不能在一起打

起来，于是rly一天又借来了许多许多的車在棋盘上摆了起来……他想知道，在N×M的矩形方格中摆最多个数的車

使其互不吃到的情况下方案数有几种。但是，由于上次摆炮摆得实在太累，他为了偷懒，打算增加一个条件：对于

任何一个車A，如果有其他一个車B在它的上面（車B行号小于車A），那么車A必须在車B的右边（車A列号大于車B）

。

棋子都是相同的。

Input

一行，两个正整数N和M。

N<=1000000，M<=1000000

Output

一行，输出方案数的末尾50位（不足则直接输出）。

Sample Input

2 2

Sample Output

1

 

Solution

题目看起来狠厉害的样子，但是仔细发现，

由于增加的那个条件非常的苛刻，并且車不能互相攻击到。

所以，最优情况下，一定是左上到右下斜着放下去。

假设n>=m

发现，在最优情况下，m列一定放满了，最优答案就是m。

然后，n行可能没有放满，所以，方案数就相当于，

在n行里面选择m行放置这m个棋子的方案数。

这就是C(n,m)呀！！

 

所以，方案数就是C(n,m)

 

但是，n<=1e6，输出又要保留50位，要用高精！！

首先，我们肯定不能按照一般运算顺序，

即先算n！，再算m！，（n-m）！。

就算是你愿意高精除以低精，

但是n！就已经位数估计7e6了。再循环n次？不可能。

 

但是，最后就要保留50位啊，那n！就每次取个余数，然后再用这个余数除以m！

纯粹瞎搞。取余运算哪里有这个运算律？？

 

那么怎么办？

 

发现，困扰的地方就是除法。

如果只有乘法，没有除法，那么每次取最后50位就是可行的了。

 

怎么避免除法？

 

组合数一定是一个整数。所以n！的质因数分解后，肯定能消完分母的质因子分解情况。

先化简一下：

C(n,m)=(m+1)*.....*n/(1*....*(n-m)

线性筛素数。

把分母1~n-m依次用质数根号n质因数分解。

每个质因子维护一个桶，记录在分母中出现的次数。

之后，循环分子i，

把分子质因数分解，用分母中的质因子桶能消除一些质因子就消除。

最后留下的i可以高精乘进去。

（可以采用压位高精，快10倍）

 

虽然理论nsqrt(n)，但是由于用质数分解更快，而且小数不用循环sqrt(n)次。

所以O(能过)

 

Code

/**************************************************************
    Problem: 4807
    User: 20011023
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1332 ms
    Memory:17892 kb
****************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=+;
const ll mod=1e10;
int n,m;
int k;
int exi[N];
int ans;
int yue[N],has[N],cnt;
int pri[N],tot;
bool vis[N];
void sieve(){
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++tot]=i;
        }
        for(int j=;j<=tot;j++){
            if(pri[j]*i>n) break;
            vis[pri[j]*i]=;
            if(i%pri[j]==) break;
        }
    }
}
void div1(int x){
    for(int i=;pri[i]*pri[i]<=x;i++){
        while(x%pri[i]==){
            exi[i]++;
            x/=pri[i];
        }
    }
    if(x>){
        int k=lower_bound(pri+,pri+tot+,x)-pri;
        exi[k]++;
    }
}
int div2(int x){
    int now=x;
    for(int i=;pri[i]*pri[i]<=x;i++){
        if(now%pri[i]==){
            while(now%pri[i]==){
                if(exi[i]){
                    exi[i]--;
                    x/=pri[i];}
                now/=pri[i];
            }
        }
    }
    if(now>){
        int k=lower_bound(pri+,pri+tot+,now)-pri;
        if(exi[k]){
            exi[k]--;
            x/=pri[k];
        }
    }
    return x;
}
struct big{
    ll a[];
    int cnt;
    void pre(){
        cnt=,a[]=;
    }
    void mul(const ll &x){
        int ji=;
        for(int i=;i<=cnt;i++){
            a[i]=a[i]*x+ji;
            ji=a[i]/mod;
            a[i]%=mod;
        }
        if(ji){
            a[++cnt]=ji;
        }
        if(cnt>) cnt=;
    }
    void op(){
        while(a[cnt]==&&cnt>) cnt--;
        printf("%lld",a[cnt--]);
        while(cnt)printf("%010lld",a[cnt--]);
    }
}A;
void wrk(){
    A.pre();
    for(int i=m+;i<=n;i++){
        int re=div2(i);
        A.mul(re);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(m>n) swap(n,m);
    if(n==m){
        printf("");return ;
    }
    else if(n==){
        printf("%d",m);return ;
    }
    else if(m==){
        printf("%d",n);return ;
    }
    sieve();
    for(int i=;i<=n-m;i++){
        div1(i);
    }
    wrk();
    A.op();
    return ;
}

Conclusion

质因数分解往往可以起到意想不到的优化，因为一个数的分解呈现了它的本质。

决定了一切的乘除，gcd，找因数等运算。

1.乘除，本质上是质因子次数的加减。

2.gcd本质上是所有质因子次数取min再相乘。lcm则取max

3.因数的产生本质上是一个乘法原理。质因子次数的选择也决定了因数的数值。

并且，处理一些gcd问题时，质因数分解的考虑方式也值得去尝试。