MT【168】还是两根法

设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$，方程$f(x)=x$的两根$x_1,x_2$满足$0<x_1<x_2<\dfrac{1}{a}$,
(Ⅰ)当$x\in(0, x_1)$时，求证：$x<f(x)<x_1$;
(Ⅱ)设函数$f(x)$的图象关于$x=x_0$对称,求证:$x_0<\dfrac{x_1}{2}$

解答:
(1)设$f(x)-x=a(x-x_1)(x-x_2)$,
则$f(x)-x_1=f(x)-x+x-x_1=(x-x_1)[a(x-x_2)+1]=(x-x_1)(ax+1-ax_2)$
由$0<x_1<x_2<\dfrac{1}{a}$,得$f(x)-x>0,f(x)-x_1<0$即证.
(2)由$f(x)-x=a(x-x_1)(x-x_2)$,得$f(x)=ax^2+[1-a(x_1+x_2)]x+ax_1x_2$
故$x_0=\dfrac{a(x_1+x_2)-1}{2a}=\dfrac{ax_1+ax_2-1}{2a}<\dfrac{ax_1}{2a}=\dfrac{x_1}{2}$

评:$f(x)=x$两根法，用一次是技巧，屡试不爽就是方法！