CF1067D Computer Game

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题意：

有 n 道题，每个题可以做很多次但只能领悟一次，一开没有领悟任何题。

对于第 i 个题，正确率为 $p_i$ 。领悟之前，做对这个题可以提升 $a_i$ 的能力值；领悟之后，做对这个题可以提升 $b_i$ 的能力值。（保证 $a_i<b_i$ ）

做对一个题，还可以领悟任意一个题（任选）。做错题后，什么都不会发生。

现在可以做 t 次题（同一题算多次），问最大能力值？ $n\leq 10^5,t\leq 10^{10}$

题解：

【一些吐槽】 由于考试数据水现场各种水过。大家都猜了一个错误的结论：领悟之前和之后都各只做一道题。

事实上领悟之后确实是只做一道题，选的一定是 $b_ip_i$ 最大的那个题，记这个值为 $mx$ ，但领悟之前就不是了，需要 dp 。

设 $f_t$ 表示 t 时刻的最大能力值，方程$$\begin{aligned}f_{t+1}&=\max \{p_i\times (a_i+mx\times t)+(1-p_i)\times f_t\}\\f_{t+1}&=\max \{p_ia_i+p_i\times(mx\times t-f_t)\}+f_t\end{aligned}$$

这里有个性质：由于一轮的贡献不会超过 mx ，所以有$$\begin{aligned}f_{t+1}-f_t &\leq mx \\ \Longleftrightarrow t\times mx-f_t &\leq (t+1)\times mx-f_{t+1}\end{aligned}$$

即 $mx\times t-f_t$ 是单调不减的。

那么把 $p_ia_i$ 看成截距， $p_i$ 看成斜率， $f$ 的转移就相当于取若干一次函数的最大值，求下凸壳即可。 dp 的时候从左往右扫每条直线，用矩阵乘法和倍增优化转移。复杂度 $\mathcal{O}(n\log T)$ 。

code:

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
 #define ll long long
 #define db double

 using namespace std;

 const int N=1e5+;
 int n,m; db mx,ans; ll t,cnt;

 const db eps=1e-;
 const int dcmp(db x){return fabs(x)<eps?:x<-eps?-:;}

 struct line{
     db k,b;
     line(db k=,db b=):k(k),b(b){}
     friend bool operator < (line x,line y){
         return dcmp(x.k-y.k)==?dcmp(x.b-y.b)>:dcmp(x.k-y.k)<;
     }
 }p[N],q[N];

 struct mat{
     int n,m; db a[][];
     mat(int n=,int m=):n(n),m(m){memset(a,,sizeof(a));}
     friend mat operator * (mat x,mat y){
         mat z(x.n,y.m);
         rep (i,,z.n-)
             rep (j,,z.m-)
                 rep (k,,x.m-) z.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
         return z;
     }
 }A,B,trs[];

 db inter_x(line x,line y){return (y.b-x.b)/(x.k-y.k);}

 int main(){
     scanf("%d%lld",&n,&t);
     rep (i,,n){
         int a,b; db c;
         scanf("%d%d%lf",&a,&b,&c);
         mx=max(mx,b*c),p[i]=line(c,a*c);
     }
     sort(p+,p++n);
     rep (i,,n) if (i==||dcmp(p[i].k-p[i-].k)!=) q[++m]=p[i];
     n=;
     rep (i,,m){
         while (n>=&&dcmp(inter_x(q[i],p[n])-inter_x(p[n],p[n-]))<=) n--;
         p[++n]=q[i];
     }
     cnt=;
     A=mat(,); A.a[][]=;
     for (int i=;i<=n&&cnt<t;i++){
         db R=mx*cnt-A.a[][];
         while (i<n&&dcmp(inter_x(p[i],p[i+])-R)<=) i++;
         if (i<n) R=inter_x(p[i],p[i+]);
         trs[]=mat(,);
         trs[].a[][]=-p[i].k,trs[].a[][]=p[i].k*mx,trs[].a[][]=p[i].b;
         trs[].a[][]=trs[].a[][]=trs[].a[][]=;
         rep (j,,) trs[j]=trs[j-]*trs[j-];
         for (int j=;~j;j--)
             if (cnt+(1ll<<j)<t){
                 B=trs[j]*A;
                 if (i==n||dcmp((cnt+(1ll<<j))*mx-B.a[][]-R)<=) A=B,cnt+=1ll<<j;
             }
         cnt++,A=trs[]*A;
     }
     printf("%.10lf\n",A.a[][]);
     return ;
 }