SRM 514 DIV1 500pt(DP)

题目简述

给定一个H×W大小的矩阵，每个格子要么是1~9中的一个数，要么是".",要求你把“.”填成具体的数字(1~9),并且符合以下两个要求：

• 对于所有的整数r 和 c( 0 <= r <= H-n,0 <= c < W), 使得 F[r][c] + F[r+1][c] + ... + F[r+n-1][c] 是奇数.
• 对于所有的整数 r 和c(0 <= r < H,0 <= c <= W-m), 使得 F[r][c] + F[r][c+1] + ... + F[r][c+m-1] 是奇数

题解

我们可以发现F[r][c]和 F[r+n][c]的奇偶性是一样的，同样F[r][c]和F[c+m]也是同样的奇偶性，那么我们可以把F[r+p*n][c+q*m]的可以放的奇数和偶数的个数统计到odd[r][c]和even[r][c]中，矩阵就压缩成了n*m了！注意如果F[r+p*n][c+q*m]是个确定的数，如果是奇数，那么even[r][c]=0,反之odd[r][c]=0.

这样问题就转化成了求n×m的矩阵，每行和每列的和都是奇数的方案数！

接下来我们先预处理出每一行都是奇数和的状态的方案数cnt[i][mask]，然后再进行DP，方程是dp[i][mask1^maks2]+=dp[i-1][mask1]*cnt[i][maks2],第i-1行的列状态数是mask1,第i行选取的行状态是mask2,那么形成的列状态就是mask1^maks2,最后的答案就是dp[n][(1<<m)-1]，(1<<m)-1恰好表示每一列的状态都是奇数。这道题真是很赞，状态设计好巧妙～～，完全想不到啊！

代码：

 typedef long long LL;
 #define MOD 1000000007
 LL odd[][], even[][];
 LL dp[][ << ], cnt[][ << ];
 class MagicalGirlLevelTwoDivOne
 {
 public:
     int go(int num)
     {
         int ret = ;
         while (num)
         {
             ret += num & ;
             num >>= ;
         }
         return ret;
     }
     int theCount(vector <string> palette, int n, int m)
     {
         int x = palette.size(), y = palette[].size();
         for (int i = ; i < n; i++)
             for (int j = ; j < m; j++) odd[i][j] = even[i][j] = ;
         for (int i = ; i < x; i++)
             for (int j = ; j < y; j++)
             {
                 if (palette[i][j] == '.')
                 {
                     odd[i % n][j % m] *= ;
                     odd[i % n][j % m] %= MOD;
                     even[i % n][j % m] *= ;
                     even[i % n][j % m] %= MOD;
                 }
                 else
                 {
                     int num = palette[i][j] - '';
                     if (num %  == ) odd[i % n][j % m] = ;
                     else even[i % n][j % m] = ;
                 }
             }
         memset(cnt, , sizeof(cnt));
         for (int i = ; i < n; i++)
             for (int mask = ; mask < ( << m); mask++)
             {
                 int tot = go(mask);
                 if (tot %  == ) continue;
                 cnt[i][mask] = ;
                 for (int j = ; j < m; j++)
                 {
                     if (mask & ( << j))
                         cnt[i][mask] *= odd[i][j];
                     else cnt[i][mask] *= even[i][j];
                     cnt[i][mask] %= MOD;
                 }
             }
         memset(dp, , sizeof(dp));
         dp[][] = ;
         for (int i = ; i <= n; i++)
             for (int mask1 = ; mask1 < ( << m); mask1++)
                 for (int mask2 = ; mask2 < ( << m); mask2++)
                 {
                     dp[i][mask1 ^ mask2] += (dp[i - ][mask1] * cnt[i - ][mask2])%MOD;
                     dp[i][mask1 ^ mask2] %= MOD;
                 }
         return (int)dp[n][( << m) - ];
     }
 };