【CTSC2016】时空旅行

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http://uoj.ac/problem/198

题解

首先要发现答案要我们求这个式子：

\[ans=min\bigl((x_i-x)^2+c_i\bigr)
\]

显而易见的是这种时空嫁接的关系会形成一棵树。但是我们并不能像\(NOI2014\)购票那样直接在树上维护一条链的栈，因为每个点代表的既有可能是加入一个点，又有可能是删除一个点。

考虑每个点的存在时间都是一些连续区间，所以就可以在欧拉序或者\(dfs\)序上分治了。

至于询问的方式，我们可以先把线段树上的每个节点把凸包维护出来，然后用标记永久化的思想进行查询。

如果空间利用的不当会\(MLE\)，可以考虑先用栈做凸包，然后再扔进\(vector\)里做查询用，这样可以省空间。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ls tr[cnt].l
#define rs tr[cnt].r
#define N 500009
#define inf 1e16
using namespace std;
typedef long long ll;
int tot,head[N],num,val[N],n,sta[N<<1],root,dfn[N],_tag[N],m,totp;
ll ans;
ll c[N];
int pos[N];
struct edge{int n,to;}e[N];
inline void add(int u,int v){e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;}
struct seg{int l,r;}tr[N<<1];
struct node{
	int x;ll y;
	inline node operator +(const node &b)const{return node{1ll*x+b.x,y+b.y};}
	inline node operator -(const node &b)const{return node{1ll*x-b.x,y-b.y};}
	inline ll operator *(const node &b)const{return 1ll*x*b.y-y*b.x;}
	inline bool operator <(const node &b)const{if(x!=b.x)return x<b.x;else return y<b.y;}
}st[N];
vector<node>vec[N<<1];
inline ll rd(){
	ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f?-x:x;
}
inline double getk(node x,node y){return (double)(y.y-x.y)/(y.x-x.x);}
void build(int &cnt,int l,int r){
	cnt=++totp;
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
}
inline void _query(int cnt,ll x){
	if(vec[cnt].empty())return;
	int l=0,r=vec[cnt].size()-2,now=r+1;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(getk(vec[cnt][mid+1],vec[cnt][mid])>=x)now=mid,r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	ans=min(ans,vec[cnt][now].y-1ll*vec[cnt][now].x*x+x*x);
}
void upd(int cnt,int l,int r,int L,int R,int x){
//	if(cnt==1)cout<<x<<" "<<L<<" "<<R<<endl;
	if(l>=L&&r<=R){vec[cnt].push_back(node{1ll*pos[x]*2,1ll*pos[x]*pos[x]+c[x]});return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=L)upd(ls,l,mid,L,R,x);
	if(mid<R)upd(rs,mid+1,r,L,R,x);
}
void solve(int cnt,int l,int r){
	sort(vec[cnt].begin(),vec[cnt].end());
	int tp=0;
	for(int i=0;i<vec[cnt].size();++i){
		node xx=vec[cnt][i];
		if(tp&&xx.x==st[tp].x)continue;
		while(tp>1&&(xx-st[tp-1])*(st[tp]-st[tp-1])>=0)tp--;
		st[++tp]=xx;
	}
	vec[cnt].clear();
	for(int i=1;i<=tp;++i)vec[cnt].push_back(st[i]);
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(tr[cnt].l,l,mid);solve(tr[cnt].r,mid+1,r);
}
void query(int cnt,int l,int r,int x,int y){
	_query(cnt,y);
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)query(ls,l,mid,x,y);
	else query(rs,mid+1,r,x,y);
}
void work(int tim,int now,int tag){
	if(tag==1){
	    if(val[now]>=0)sta[val[now]]=tim;
		else upd(root,1,n,sta[-val[now]],tim-1,-val[now]),sta[-val[now]]=0;
	}
	else{
		if(val[now]<0)sta[-val[now]]=tim+1;
		else upd(root,1,n,sta[val[now]],tim,val[now]),sta[val[now]]=0;
	}
}
void dfs(int u){
	dfn[u]=++dfn[0];
	work(dfn[0],u,1);
	_tag[u]=dfn[0];
	for(int i=head[u];i;i=e[i].n)dfs(e[i].to);
	work(dfn[0],u,-1);
}
int main(){
	//freopen("1.in","r",stdin);
	n=rd();m=rd();c[0]=rd();
	ll opt,f,id,x,y,z;
	for(int i=1;i<n;++i){
		opt=rd();f=rd();id=rd();add(f,i);
		if(!opt){
			pos[id]=rd();y=rd();z=rd();c[id]=rd();
			val[i]=id;
		}
		else val[i]=-id;
	}
	build(root,1,n);
	dfs(0);
	for(int i=0;i<=n;++i)
	  if(sta[i])upd(root,1,n,sta[i],n,i);
	solve(root,1,n);
	int s;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		s=rd();x=rd();ans=inf;
		query(root,1,n,_tag[s],x);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}