【THUSC2017】【LOJ2981】如果奇迹有颜色 DP BM 打表 线性递推

题目大意

　　有一个 \(n\) 个点的环，你要用 \(m\) 中颜色染这 \(n\) 个点。

　　要求连续 \(m\) 个点的颜色不能是 $1 \sim m $ 的排列。

　　两种环相同当且仅当这两个环可以在旋转之后变得一模一样。

　　求方案数对 \({10}^9+7\) 取模的结果。

　　\(n\leq {10}^9,m\leq 7\)

题解

　　考虑 polya 定理，记 \(f(n)\) 为 \(n\) 个点的答案，\(g(n)\) 为 \(n\) 个点不考虑旋转的答案。那么就有

\[\begin{align}
f(n)&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ng(\gcd(n,i))\\
&=\frac{1}{n}\sum_{i\mid n}\varphi(\frac{n}{i})g(i)
\end{align}
\]

　　\(g(i)\) 可以 DP 计算。

　　记 \(h_{i,j,k}\) 为长度为 \(i\) 的链，前 \(m\) 个点的状态（颜色）为 \(j\)，最后 \(m\) 个点的状态为 \(k\) 的方案数。

　　还可以记录前 \(m\) 个颜色的前多少个是互不相同的，还有最后 \(m\) 个点的颜色。就前 \(j\) 个的颜色是互不相同的，第 \(j+1\) 个点颜色和前面某个点颜色相同。

　　显然 \(g(i)\) 有一个长度不超过 \(m^m\) 的递推式。

　　暴力打出前面的项然后 BM 求出递推式即可。

　　开 O2 只用了 48s 就打出来了。

　　\(m=7\) 时递推式长度为 \(409\)。

　　表在这：https://github.com/ywwywwyww/THUSC2017/tree/master/yww/farben

代码

const int N=1010;
const ll p=1000000007;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)
			s=s*a%p;
	return s;
}

ll b[10][2010]=表;
ll a[10][2010]=表;

int c[N],d[N],t;
ll pw[N][N];
ll ans;
int n,m;
int s[N];
int len;
void add(int &a,ll b)
{
	a=(a+b)%p;
}

void mul()
{
	static int f[N];
	for(int i=0;i<=2*len;i++)
		f[i]=0;
	for(int i=0;i<=len;i++)
		if(s[i])
			for(int j=0;j<=len;j++)
				add(f[i+j],(ll)s[i]*s[j]);
	for(int i=0;i<=2*len;i++)
		s[i]=f[i];
}
void module()
{
	for(int i=2*len;i>=len;i--)
		if(s[i])
		{
			for(int j=1;j<=len;j++)
				add(s[i-j],(ll)s[i]*b[m][j]);
			s[i]=0;
		}
}

void fp(int x)
{
	if(!x)
	{
		for(int i=0;i<=2*len;i++)
			s[i]=0;
		s[0]=1;
		return;
	}
	fp(x>>1);
	mul();
	if(x&1)
	{
		for(int i=2*len;i>=1;i--)
			s[i]=s[i-1];
		s[0]=0;
	}
	module();
}

ll calc(int x)
{
	if(x<=500)
		return a[m][x];
	fp(x-1);
	ll res=0;
	for(int i=1;i<=len;i++)
		res=(res+(ll)a[m][i]*s[i-1])%p;
	return res;
}

void dfs(int x,int y,ll phi)
{
	if(x>t)
	{
		ans=(ans+calc(y)*phi)%p;
		return;
	}
	for(int i=0;i<d[x];i++)
		dfs(x+1,y*pw[x][i],phi*(c[x]-1)%p*pw[x][d[x]-i-1]%p);
	dfs(x+1,y*pw[x][d[x]],phi);
}
int main()
{
	open("farben");
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int _n=n;
	for(int i=2;i*i<=_n;i++)
		if(_n%i==0)
		{
			c[++t]=i;
			while(_n%i==0)
			{
				d[t]++;
				_n/=i;
			}
		}
	if(_n>1)
	{
		c[++t]=_n;
		d[t]=1;
	}
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		pw[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=d[i];j++)
			pw[i][j]=pw[i][j-1]*c[i]%p;
	}
	len=b[m][0];
	dfs(1,1,1);
	ans=ans*fp(n,p-2)%p;
	ans=(ans%p+p)%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

打表程序

const ll p=1000000007;
const int N=1010;
const int n=1000;
//const int m=5;
int m;

ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)
			s=s*a%p;
	return s;
}

const int MA=2100000;

int e[MA];
int ban[MA];
vector<int> g[N];
int pw[N];
int ma;

namespace gao1
{
	int a[N],b[N],c[N];
	void dfs(int x)
	{
		if(x>m)
		{
			for(int i=1;i<=m;i++)
				b[i]=0;
			int tot=0;
			int s=0;
			int s2=0;
			int first=0;
			for(int i=1;i<=m;i++)
			{
				if(!b[a[i]])
					b[a[i]]=++tot;
				c[i]=b[a[i]];
				s+=c[i]*pw[i-1];
				s2+=a[i]*pw[i-1];
				if(c[i]<=c[i-1]&&!first)
					first=i-1;
			}
			if(tot==m)
				ban[s2]=1;
			else
				g[first].push_back(s);
			return;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			a[x]=i;
			dfs(x+1);
		}
	}
	void gao()
	{
		dfs(1);
	}
}

namespace gao2
{
	int a[N],b[N],c[N];
	void dfs(int x)
	{
		if(x>m)
		{
			for(int i=1;i<=m;i++)
				b[i]=0;
			for(int i=m;i>=1;i--)
				if(!a[i]||!b[a[i]])
				{
					c[i]=a[i];
					b[a[i]]=1;
				}
				else
					c[i]=0;
			int s=0,s1=0;
			for(int i=1;i<=m;i++)
				s+=c[i]*pw[i-1];
			for(int i=1;i<=m;i++)
				s1+=a[i]*pw[i-1];
			e[s1]=s;
			return;
		}
		for(int i=0;i<=m;i++)
		{
			a[x]=i;
			dfs(x+1);
		}
	}
	void gao()
	{
		dfs(1);
	}
}

int f[N];
int h[2][MA];
int d[MA];

void add(int &a,int b)
{
	a=(a+b)%p;
}

int append(int a,int b)
{
	return a/(m+1)+b*pw[m-1];
}

namespace gao3
{
	void gao(int x)
	{
		memset(d,0,sizeof d);

		for(int i=0;i<=ma;i++)
		{
			int flag=1;
			for(int y=i,j=1;j<=x;j++)
			{
				y=append(y,j);
				if(ban[y])
				{
					flag=0;
					break;
				}
			}
			d[i]=flag;
		}

		memset(h,0,sizeof h);
		int cur=0;
		for(auto v:g[x])
			h[cur][e[v]]++;
		for(int i=m;i<=n;i++)
		{
			fprintf(stderr,"%d %d %d\n",m,x,i);
			memset(h[cur^1],0,sizeof h[cur^1]);
			for(int j=0;j<=ma;j++)
				if(h[cur][j]&&!ban[j])
				{
					add(f[i],d[j]*h[cur][j]);
					for(int k=1;k<=m;k++)
						add(h[cur^1][e[append(j,k)]],h[cur][j]);
				}
			cur^=1;
		}
	}
}

int main(int argc,char **argv)
{
//	freopen("farben2.txt","w",stdout);
	sscanf(argv[1],"%d",&m);
	ma=fp(m+1,m);
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		pw[i]=pw[i-1]*(m+1);
	gao1::gao();
	gao2::gao();

	for(int i=1;i<m;i++)
		f[i]=fp(m,i);

	for(int i=1;i<m;i++)
		gao3::gao(i);

	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d\n",f[i]);
	return 0;
}