混淆矩阵、准确率、精确率/查准率、召回率/查全率、F1值、ROC曲线的AUC值

　　准确率、精确率（查准率）、召回率（查全率）、F1值、ROC曲线的AUC值，都可以作为评价一个机器学习模型好坏的指标（evaluation metrics），而这些评价指标直接或间接都与混淆矩阵有关，前四者可以从混淆矩阵中直接计算得到，AUC值则要通过ROC曲线进行计算，而ROC曲线的横纵坐标又和混淆矩阵联系密切，所以在了解这些评价指标之前，先知道什么是混淆矩阵很有必要，也方便记忆。

1.混淆矩阵

　　对于一个二分类问题，我们可以得到如表 1所示的的混淆矩阵（confusion matrix）：

表 1：混淆矩阵

		Actual class
		positive class	negative class
Predicted class	positive class	True Positive(TP)	False Positive(FP)
	negative class	False Negative(FN)	True Negative(TN)

表 1 所示的混淆矩阵中，行表示数据在模型上的预测类别（predicted class/predicted condition），列表示数据的真实类别（actual class/true condition）。在看混淆矩阵时，要分清样本的真实类别和预测类别，有些地方的行列表示可能和这里不一致。在sklearn中，二分类问题下的混淆矩阵需要分别将表 1 中的predicted class和Actual class对调，将横纵坐标的positive class和negative class都分别对调，再重新计算混淆矩阵。

　　通过混淆矩阵，我们可以很直观地看清一个模型在各个类别（positive和negative）上分类的情况。

表 2：TP、FP、FN、TN

TP	真实类别为positive，模型预测的类别也为positive
FP	预测为positive，但真实类别为negative，真实类别和预测类别不一致
FN	预测为negative，但真实类别为positive，真实类别和预测类别不一致
TN	真实类别为negative，模型预测的类别也为negative

　　TP、FP、TN、FN，第二个字母表示样本被预测的类别，第一个字母表示样本的预测类别与真实类别是否一致。

2.准确率

　　准确率（accuracy）计算公式如下所示：

\begin{equation}\label{equ:accuracy}
\mbox{accuracy} = \frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN} = \frac{TP+TN }{\mbox{all data}}
\end{equation}

准确率表示预测正确的样本（TP和TN）在所有样本（all data）中占的比例。

　　在数据集不平衡时，准确率将不能很好地表示模型的性能。可能会存在准确率很高，而少数类样本全分错的情况，此时应选择其它模型评价指标。

3.精确率（查准率）和召回率（查全率）

　　positive class的精确率（precision）计算公式如下：

\begin{equation}\label{equ:precision}
\mbox{precision} = \frac{TP}{TP+FP} = \frac{TP}{\mbox{预测为positive的样本}}
\end{equation}

　　positive class的召回率（recall）计算公式如下：

\begin{equation}\label{equ:recall}
\mbox{recall} = \frac{TP}{TP+FN} = \frac{TP}{\mbox{真实为positive的样本}}
\end{equation}

　　positive class的精确率表示在预测为positive的样本中真实类别为positive的样本所占比例；positive class的召回率表示在真实为positive的样本中模型成功预测出的样本所占比例。　　　　

　　positive class的召回率只和真实为positive的样本相关，与真实为negative的样本无关；而精确率则受到两类样本的影响。

4.$F_1$值和$F_\beta$值

　　$F_1$值的计算公式如下：
\begin{equation}\label{equ:f1}
F_1 = \frac{2}{\frac{1}{\mbox{precision}}+\frac{1}{\mbox{recall}}} = \frac{2*\mbox{precision}*\mbox{recall}}{\mbox{precision}+\mbox{recall}}
\end{equation}
$F_1$值就是精确率和召回率的调和平均值，$F_1$值认为精确率和召回率一样重要。

　　$F_\beta$值的计算公式如下：
\begin{equation}\label{equ:fbeta}
F_\beta = \frac{1+\beta^2}{\frac{1}{\mbox{precision}}+\frac{\beta^2}{\mbox{recall}}} = \frac{(1+\beta^2)*\mbox{precision}*\mbox{recall}}{\beta^2*\mbox{precision}+\mbox{recall}}
\end{equation}
在$\beta = 1$时，$F_\beta$就是$F_1$值，此时$F_\beta$认为精确率和召回率一样重要；当$\beta > 1$时，$F_\beta$认为召回率更重要；当$0< \beta < 1$时，$F_\beta$认为精确率更重要。除了$F_1$值之外，常用的还有$F_2$和$F_{0.5}$。

5.ROC曲线及其AUC值

　　AUC全称为Area Under Curve，表示一条曲线下面的面积，ROC曲线的AUC值可以用来对模型进行评价。ROC曲线如图 1 所示：

图 1：ROC曲线

（注：图片摘自https://en.wikipedia.org/wiki/Receiver_operating_characteristic）

　　ROC曲线的纵坐标True Positive Rate（TPR）在数值上就等于positive class的recall，记作recall$_{positive}$，横坐标False Positive Rate（FPR）在数值上等于(1 - negative class的recall)，记作(1 - recall$_{negative}$)如下所示：
\begin{equation}\label{equ:tpr}
\begin{split}
\mbox{TPR} &= \frac{TP}{TP + FN} \\ &= \mbox{recall$_{positive}$}
\end{split}
\end{equation}
\begin{equation}\label{equ:fpr}
\begin{split}
\mbox{FPR} &= \frac{FP}{FP + TN} = \frac{FP + TN -TN}{FP + TN} \\ &= 1 - \frac{TN}{FP + TN} \\ &= 1 - \mbox{recall$_{negative}$}
\end{split}
\end{equation}
　　通过对分类阈值$\theta$（默认0.5）从大到小或者从小到大依次取值，我们可以得到很多组TPR和FPR的值，将其在图像中依次画出就可以得到一条ROC曲线，阈值$\theta$取值范围为$[0, 1]$。

　　ROC曲线在图像上越接近左上角$(0, 1)$模型越好，即ROC曲线下面与横轴和直线FPR = 1围成的面积（AUC值）越大越好。直观上理解，纵坐标TPR就是recall$_{positive}$值，横坐标FPR就是(1 - recall$_{negative}$)，前者越大越好，后者整体越小越好，在图像上表示就是曲线越接近左上角$(0, 1)$坐标越好。

　　图 １展示了３个模型的ROC曲线，要知道哪个模型更好，则需要计算每条曲线的AUC值，一般认为AUC值越大越好。AUC值由定义通过计算ROC曲线、横轴和直线FPR = 1三者围成的面积即可得到。