Gram 矩阵与向量到子空间的距离

设 $W$ 是 $n$ 维 Euclidean 空间 $V$ 的子空间, $\beta\in V$, 定义 $\beta$ 到 $W$ 的距离  $$\bex  \rd (\beta,W)=|\beta-\beta'|,  \eex$$  其中 $\beta'$ 为 $\beta$ 在 $W$ 上的正交投影. 设 $\beta_1,\cdots,\beta_m$ 为 $W$ 的一组基, 则  $$\bex  \rd (\beta,W)=\sqrt{\frac{G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta)}{G(\beta_1,\cdots,\beta_m)}}.  \eex$$  证明:  $$\beex  \bea  &\quad G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta)\\  &=G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta'+(\beta-\beta'))\\  &=G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta')  +G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta-\beta')\quad\sex{\mbox{行列式的性质}}\\  &=G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta-\beta')\quad\sex{\beta\in W\ra \beta=\sum_i c_i\beta_i\mbox{ 及行列式的性质}}\\  &=\sev{\ba{cccc}  (\beta_1,\beta_1)&\cdots&(\beta_1,\beta_m)&(\beta_1,\beta-\beta')\\  \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  (\beta_m,\beta_1)&\cdots&(\beta_m,\beta_m)&(\beta_m,\beta-\beta')\\  (\beta-\beta',\beta_1)&\cdots&(\beta-\beta',\beta_m)&(\beta-\beta',\beta-\beta')  \ea}\\  &=\sev{\ba{cccc}  (\beta_1,\beta_1)&\cdots&(\beta_1,\beta_m)&0\\  \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  (\beta_m,\beta_1)&\cdots&(\beta_m,\beta_m)&0\\  0&\cdots&0&(\beta-\beta',\beta-\beta')  \ea}\quad\sex{\sex{\beta-\beta',\beta_i}=0}\\  &=|\beta-\beta'|^2G(\beta_1,\cdots,\beta_m)\\  &=\rd^2(\beta,W)G(\beta_1,\cdots,\beta_m).  \eea  \eeex$$