【XSY3042】石像 拓扑排序 状压DP 洲阁筛

题目大意

　　有 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，每个数的范围是 \([1,m]\)。还有 \(k\) 个限制，每个限制 \(x_i,y_i\) 表示 \(a_{x_i}\leq a_{y_i}\)。

　　问有多少种不同的情况，以及所有情况中 \({\sigma_0(\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n))}^3\) 的和。

　　\(n\leq 20,m\leq {10}^{10}\)

题解

　　记 \(f(x)\) 为当 \(m=x\) 时第一问的答案。

　　记 \(g(x)\) 为当 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 有 \(x\) 种不同的值时第一问的答案。

　　\(g(x)\) 要怎么求呢？

　　tarjan 求强连通分量，然后缩点，状压DP。

　　直接枚举子集是 \(O(n3^n)\) 的。

　　因为缩点后是一个 DAG，所以按拓扑序来转移就好了。

　　设 \(h_{i,j,S}\) 为 当前考虑的值为 \(i\)，正在考虑 \(a_j\) 这个数，已经确定数的集合为 \(S\) 的方案数。

　　每次决定 \(a_j\) 这个数的值是不是 \(i\) 就可以了。

　　时间复杂度：\(O(n^22^n)\)

　　\(f(x)\) 要怎么求呢？

　　注意到 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 最多只有 \(n\) 种不同的值，所以可以用 \(g(1),g(2),\ldots,g(n)\) 计算出 \(f(x)\)：

\[f(x)=\sum_{i=1}^n\binom{x}{i}g(i)
\]

　　求组合数时要记下 \(2\) 的次数和非 \(2\) 的倍数的乘积两部分。

　　或者你求出前 \(O(n)\) 项然后拉格朗日插值也是可以的。

　　这样就求出第一问的答案了。

　　时间复杂度：\(O(n)\)

　　那第二问要怎么求呢？

\[\begin{align}
&\sum_{a_1=1}^m\sum_{a_2=1}^m\cdots\sum_{a_n=1}^m\sigma_0({\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)}^3)\\
=&\sum_{i=1}^m\sigma_0(i^3)^3\sum_{a_1=1}^m\sum_{a_2=1}^m\cdots\sum_{a_n=1}^m[\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)=i]\\
=&\sum_{i=1}^m(\sum_{j\mid i}\sigma_0(j^3)^3\mu(\frac{i}{j}))\sum_{a_1=1}^m\sum_{a_2=1}^m\cdots\sum_{a_n=1}^m[i\mid\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)]\\
=&\sum_{i=1}^m(\sum_{j\mid i}\sigma_0(j^3)^3\mu(\frac{i}{j}))f(\lfloor\frac{m}{i}\rfloor)
\end{align}
\]

　　那么前面那部分要怎么求呢？

　　容易发现 \(h(n)=\sum_{d\mid n}\sigma_0(d^3)^3\mu(\frac{n}{d})\) 是一个积性函数，满足

\[\begin{align}
h(1)&=1\\
h(p)&=1\times (-1)+4^3\times 1=63\\
h(p^c)&={(3(c-1)+1)}^3(-1)+{(3c+1)}^3(1)\\
&=(27c^3+27c^2+9c+1)-(27c^2-54c^2+36c-8)\\
&=81c^2-27c+9
\end{align}
\]

　　所以可以大力洲阁筛/min_25筛求。

　　可能需要卡一下常。

　　时间复杂度：\(O(n^22^n+n\sqrt m+\frac{m^\frac{3}{4}}{\log m})\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c,b=0;
	while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
	if(c=='-')
	{
		c=getchar();
		b=1;
	}
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return b?-s:s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}

int fp(int a,ll b)
{
	int s=1;
	for(;b;b>>=1,a*=a)
		if(b&1)
			s*=a;
	return s;
}

namespace gao1
{
	const int N=30;
	int n,m;
	vector<int> g[N],g2[N];
	int lx[N*N],ly[N*N];
	int dfn[N],low[N],b[N],st[N],top,c[N],ti,ccnt;
	int f[1<<20],a[N];
	int s[N];
	int d[N][N];
	int inv[N],pw[N];
	void dfs(int x)
	{
		dfn[x]=low[x]=++ti;
		st[++top]=x;
		b[x]=1;
		for(auto v:g[x])
			if(b[v]!=2)
			{
				if(!b[v])
					dfs(v);
				low[x]=min(low[x],low[v]);
			}
		if(low[x]>=dfn[x])
		{
			ccnt++;
			int v;
			do
			{
				v=st[top--];
				b[v]=2;
				c[v]=ccnt;
			}
			while(v!=x);
		}
	}
	void add(int &a,int b)
	{
		a+=b;
	}
	void gao()
	{
		scanf("%d",&m);
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d",&lx[i],&ly[i]);
			g[lx[i]].push_back(ly[i]);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(!b[i])
				dfs(i);
		for(int i=1;i<=m;i++)
			if(c[lx[i]]!=c[ly[i]])
			{
				g2[c[lx[i]]].push_back(c[ly[i]]);
				a[c[lx[i]]]|=1<<(c[ly[i]]-1);
			}
		n=ccnt;
		f[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
				for(int k=0;k<1<<n;k++)
					if(!((k>>(j-1))&1)&&(k&a[j])==a[j])
						add(f[k|(1<<(j-1))],f[k]);
			s[i]=f[(1<<n)-1];
		}
		for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			d[i][0]=1;
			for(int j=1;j<=i;j++)
				d[i][j]=d[i-1][j-1]+d[i-1][j];
		}
		for(int i=n;i>=1;i--)
		{
			for(int j=i-1;j>=1;j--)
				s[i]+=((i-j)&1?-1:1)*d[i][j]*s[j];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int x=i;
			while(!(x&1))
			{
				pw[i]++;
				x>>=1;
			}
			inv[i]=fp(x,(1ll<<31)-1);
		}
	}
	int query(ll x)
	{
		int res=0;
		int prod=1;
		int num=0;
		for(int i=1;i<=n&&i<=x;i++)
		{
			ll y=x-i+1;
			while(num<=20&&!(y&1))
			{
				y>>=1;
				num++;
			}
			num-=pw[i];
			prod*=inv[i];
			prod*=y;
			res+=(prod<<num)*s[i];
		}
		return res;
	}
}

namespace gao2
{
	const int M=100010;
	const int m=100000;
	ll n;
	int pri[M],b[M],cnt;
	int f1[M],f2[M],s1[M],s2[M];
	void init()
	{
		for(int i=2;i<=m;i++)
		{
			if(!b[i])
				pri[++cnt]=i;
			for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=m;j++)
			{
				b[i*pri[j]]=1;
				if(i%pri[j]==0)
					break;
			}
		}
	}
	void gao()
	{
		init();
		int mx=n/(m+1);
		for(int i=2;i<=m;i++)
			f1[i]=i-1;
		for(int i=1;i<=mx;i++)
			f2[i]=n/i-1;
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
		{
			int x=pri[i];
			int y=f1[x-1];
			int mx1=min(n/x/(m+1),n/x/x);
			int mx2=min((ll)mx,n/x/x);
			ll p2=(ll)pri[i]*pri[i];
			ll o=n/x;
			for(int j=1;j<=mx1;j++)
				f2[j]-=f2[j*x]-y;
			for(int j=mx1+1;j<=mx2;j++)
				f2[j]-=f1[o/j]-y;
			for(int j=m;j>=p2;j--)
				f1[j]-=f1[j/x]-y;
		}
		for(int i=2;i<=m;i++)
		{
			f1[i]*=63;
			s1[i]=f1[i];
		}
		for(int i=1;i<=mx;i++)
		{
			f2[i]*=63;
			s2[i]=f2[i];
		}
		for(int i=cnt;i>=1;i--)
		{
			int x=pri[i];
			int mx1=min((ll)mx,n/x/x);
			for(int j=1;j<=mx1;j++)
			{
				s2[j]-=63;
				ll x2=n/j/x;
				for(int k=1;x2;x2/=x,k++)
					s2[j]+=((x2<=m?s1[x2]-f1[min((int)x2,x)]:s2[n/x2]-f1[x])+1)*(81*k*k-27*k+9);
			}
			ll mn=(ll)pri[i]*pri[i];
			for(int j=m;j>=mn;j--)
			{
				s1[j]-=63;
				int x2=j/x;
				for(int k=1;x2;x2/=x,k++)
					s1[j]+=(s1[x2]-f1[min(x2,x)]+1)*(81*k*k-27*k+9);
			}
		}
	}
	int query(ll x)
	{
		if(x<=0)
			return 0;
		return (x<=m?s1[x]:s2[n/x])+1;
	}
}

int main()
{
	open("statue");
	scanf("%d%lld",&gao1::n,&gao2::n);
	gao1::gao();
	gao2::gao();
	int ans=0;
	ll n=gao2::n;
	for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		ans+=(gao2::query(j)-gao2::query(i-1))*gao1::query(n/i);
	}
	printf("%u %u\n",gao1::query(n),ans);
	return 0;
}