动态规划——Longest Valid Parentheses

Given a string containing just the characters '(' and ')', find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.

Example 1:

Input: "(()"
Output: 2
Explanation: The longest valid parentheses substring is "()"

Example 2:

Input: ")()())"
Output: 4
Explanation: The longest valid parentheses substring is "()()"

大概意思就是，提供一个只含'('和')'的字符串S，请在S中找到一个'('和')'配对出现的最长连续子字符串，输出其长度这个最长连续子字符串可以是“(())”这种，也可以是“()()”这种，而且必须是连续的。
这个题的状态相对来说比较好想，状态dp[i]：包含第i个字符的最长连续子串的长度，前提是包含当前这个字符S[i]（因为要保证结果是个连续的字串），所以可以想像到所有'('处的dp值都是0。这样问题就来了
状态转移方程是什么呢？考虑到'('和')'要配对，不妨两个两个的看S的字符。仔细研究所有字符串的情况可以发现，所有符合要求的无非就两种情况：（1）...().... （2）...((...))...两个两个的看S的字符，
（1）（2）中没有包含的连续的两个字符的情况不用考虑，像什么S[i]=='('和S[i-1]==')'之类的，都不用管，没用！
对于情况一，即S[i]==')'和S[i-1]=='('这种直接配对的情况，直接dp[i] = dp[i-2]+2，道理不赘述，注意数组访问不要越界
对于情况二，稍稍复杂一些，这种情况就是大的套小的，我们要查看小套的上界，也就是大套的左边是不是'('，如何访问这个大套的左侧字符呢，认真思考后可以想到dp[i-1]代表包含了S[i-1]的最长连续子串的长度，S[i]
是大套的右边界')'，S[i-1]是小套的右边界')'，则S[i-dp[i-1]]是小套的左边界，（当然这个dp[i-1]等于0也就不用管了没意义的），易知S[i-dp[i-1]-1]是大套的左边界，如果S[i-dp[i-1]-1]='('说明能配对，同时要注意
到dp[i-dp[i-1]-1]可能不等于0，也就是说大套的左侧可能还有符合要求的字串，如果存在的话应该连起来，所以这种情况下dp[i] = dp[i-1]+dp[i-dp[i-1]-2]+2，即小套长度+大套左侧的长度+套左右边界两个字符的长度2；
如果S[i-dp[i-1]-1]=')'说明不能配对，此时不管用了，让dp[i]保持默认值0即可。当然这种情况也要注意数组访问不能越界！

此题还有设置一个变量ans来记录最长的这个长度，因为S中可能断断续续有好几个离散的符合要求的'('和')'配对的字串，需要这个变量ans来不断筛选最优解，操作很简单，每次求出一个dp[i]，就更新一次ans的值，
即：ans = ans > dp[i]?ans:dp[i]

代码如下:

 int longestValidParentheses(string s) {
             int ans = ;
     int slen = s.length();
     if (slen <= )return ans;
     int* dp = new int[slen];
     for (int i = ; i < slen; i++)
         dp[i] = ;
     if (s[] == '('&&s[] == ')')dp[] = ;
     ans = dp[];
     for (int i = ; i < slen; i++){
         if (s[i] == ')'){
             if (s[i - ] == '(')dp[i] = dp[i - ] + ;
             else{
                 if ((i - dp[i - ] - ) ==  && s[i - dp[i - ] - ] == '(')dp[i] = dp[i - ] + ;
                 else if ((i - dp[i - ] - ) >  && s[i - dp[i - ] - ] == '(')dp[i] = dp[i - ] + dp[i - dp[i - ] - ] + ;
             }
         }
         ans = ans > dp[i] ? ans : dp[i];
     }
     delete[]dp;
     return ans;
 }