kd tree学习笔记 (最近邻域查询)

https://zhuanlan.zhihu.com/p/22557068

http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7855241

KD树在算法竞赛中主要用来做各种各样的平面区域查询，包含则累加直接返回，相交则继续递归，相离的没有任何贡献也直接返回。可以处理圆，三角形，矩形等判断起来相对容易的平面区域内的符合加法性质的操作。

比如查询平面内欧几里得距离最近的点的距离。

kdtree其实有点像搜索，暴力+剪枝。

每次从根结点向下搜索，并进行剪枝操作，判断是否有必要继续搜索。

它是通过横一刀，竖一刀，横一刀再竖一刀将平面进行分割，建立二叉树。

建树的复杂度是O(nlogn), 每次用nth_element()在线性时间内取出中位数。 T(n) = 2T(n/2) + O(n) = O(nlogn)

查询复杂度呢？ 据第二个链接的博客说最坏是O( sqrt(n) ) 的。并不会分析查询复杂度。

HDU2966 裸kdtree

题意：给平面图上N(1 ≤ N ≤100000)个点，对每个点，找到其他 欧几里德距离 离他最近的点，输出他们之间的距离。保证没有重点。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define N 200010
 const ll inf = 1e18;
 int n,i,id[N],root,cmp_d;
 int x, y;
 struct node{int d[],l,r,Max[],Min[],val,sum,f;}t[N];
 bool cmp(const node&a,const node&b){return a.d[cmp_d]<b.d[cmp_d];}
 void umax(int&a,int b){if(a<b)a=b;}
 void umin(int&a,int b){if(a>b)a=b;}
 void up(int x){
     if(t[x].l){
         umax(t[x].Max[],t[t[x].l].Max[]);
         umin(t[x].Min[],t[t[x].l].Min[]);
         umax(t[x].Max[],t[t[x].l].Max[]);
         umin(t[x].Min[],t[t[x].l].Min[]);
     }
     if(t[x].r){
         umax(t[x].Max[],t[t[x].r].Max[]);
         umin(t[x].Min[],t[t[x].r].Min[]);
         umax(t[x].Max[],t[t[x].r].Max[]);
         umin(t[x].Min[],t[t[x].r].Min[]);
     }
 }
 int build(int l,int r,int D,int f){
     int mid=(l+r)>>;
     cmp_d=D,std::nth_element(t+l,t+mid,t+r+,cmp);
     id[t[mid].f]=mid;
     t[mid].f=f;
     t[mid].Max[]=t[mid].Min[]=t[mid].d[];
     t[mid].Max[]=t[mid].Min[]=t[mid].d[];
     //t[mid].val=t[mid].sum=0;
     if(l!=mid)t[mid].l=build(l,mid-,!D,mid);else t[mid].l=;
     if(r!=mid)t[mid].r=build(mid+,r,!D,mid);else t[mid].r=;
     return up(mid),mid;
 }

 ll dis(ll x1, ll y1, ll x, ll y) {
     ll xx = x1-x, yy = y1-y;
     return xx*xx+yy*yy;
 }
 ll dis(int p, ll x, ll y){//估价函数, 以p为子树的最小距离
     ll xx = , yy = ;
     if(t[p].Max[] < x) xx = x-t[p].Max[];
     if(t[p].Min[] > x) xx = t[p].Min[]-x;
     if(t[p].Max[] < y) yy = y-t[p].Max[];
     if(t[p].Min[] > y) yy = t[p].Min[]-y;
     return xx*xx+yy*yy;
 }
 ll ans;
 void query(int p){
     ll dl = inf, dr = inf, d = dis(t[p].d[], t[p].d[], x, y);
     if(d) ans = min(ans, d);

     if(t[p].l) dl = dis(t[p].l, x, y);
     if(t[p].r) dr = dis(t[p].r, x, y);
     if(dl < dr){
         if(dl < ans) query(t[p].l);
         if(dr < ans) query(t[p].r);
     }
     else {
         if(dr < ans) query(t[p].r);
         if(dl < ans) query(t[p].l);
     }
 }

 int main(){
     int T; scanf("%d", &T);
     while(T--){
         scanf("%d", &n);
         for(int i = ; i <= n; i++){
             scanf("%d%d", &t[i].d[], &t[i].d[]);
             t[i].f = i;
         }
         int rt = build(, n, , );
         for(int i = ; i <= n; i++){
             ans = inf;
             x = t[ id[i] ].d[], y = t[ id[i] ].d[];
             query(rt);
             printf("%lld\n", ans);
         }
     }
     return ;
 }

BZOJ2648

题意：给出n个点，接下来m个操作，每次插入一个点，或者询问离询问点的最近曼哈顿距离。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define N 1000010
 const ll inf = 1e18;
 int n,m,i,id[N],root,cmp_d,rt;
 int x, y;
 struct node{int d[],l,r,Max[],Min[],val,sum,f;}t[N];
 bool cmp(const node&a,const node&b){return a.d[cmp_d]<b.d[cmp_d];}
 void umax(int&a,int b){if(a<b)a=b;}
 void umin(int&a,int b){if(a>b)a=b;}
 void up(int x){
     if(t[x].l){
         umax(t[x].Max[],t[t[x].l].Max[]);
         umin(t[x].Min[],t[t[x].l].Min[]);
         umax(t[x].Max[],t[t[x].l].Max[]);
         umin(t[x].Min[],t[t[x].l].Min[]);
     }
     if(t[x].r){
         umax(t[x].Max[],t[t[x].r].Max[]);
         umin(t[x].Min[],t[t[x].r].Min[]);
         umax(t[x].Max[],t[t[x].r].Max[]);
         umin(t[x].Min[],t[t[x].r].Min[]);
     }
 }
 int build(int l,int r,int D,int f){
     int mid=(l+r)>>;
     cmp_d=D,std::nth_element(t+l,t+mid,t+r+,cmp);
     id[t[mid].f]=mid;
     t[mid].f=f;
     t[mid].Max[]=t[mid].Min[]=t[mid].d[];
     t[mid].Max[]=t[mid].Min[]=t[mid].d[];
     //t[mid].val=t[mid].sum=0;
     if(l!=mid)t[mid].l=build(l,mid-,!D,mid);else t[mid].l=;
     if(r!=mid)t[mid].r=build(mid+,r,!D,mid);else t[mid].r=;
     return up(mid),mid;
 }

 ll dis(ll x1, ll y1, ll x, ll y) {
     return abs(x1-x)+abs(y1-y);
     //ll xx = x1-x, yy = y1-y;
     //return xx*xx+yy*yy;
 }
 ll dis(int p, ll x, ll y){//估价函数, 以p为子树的最小距离
     ll xx = , yy = ;
     if(t[p].Max[] < x) xx = x-t[p].Max[];
     if(t[p].Min[] > x) xx = t[p].Min[]-x;
     if(t[p].Max[] < y) yy = y-t[p].Max[];
     if(t[p].Min[] > y) yy = t[p].Min[]-y;
     return xx+yy;
     //return xx*xx+yy*yy;
 }
 ll ans;
 void ins(int now, int k, int x){
     if(t[x].d[k] >= t[now].d[k]){
         if(t[now].r) ins(t[now].r, !k, x);
         else
             t[now].r = x, t[x].f = now;
     }
     else {
         if(t[now].l) ins(t[now].l, !k, x);
         else t[now].l = x, t[x].f = now;
     }
     up(now);
 }
 void query(int p){
     ll dl = inf, dr = inf, d = dis(t[p].d[], t[p].d[], x, y);
     ans = min(ans, d);

     if(t[p].l) dl = dis(t[p].l, x, y);
     if(t[p].r) dr = dis(t[p].r, x, y);
     if(dl < dr){
         if(dl < ans) query(t[p].l);
         if(dr < ans) query(t[p].r);
     }
     else {
         if(dr < ans) query(t[p].r);
         if(dl < ans) query(t[p].l);
     }
 }

 int main(){
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i = ; i <= n; i++)
         scanf("%d%d", &t[i].d[], &t[i].d[]);
     rt = build(, n, , );
     while(m--){
         int op;
         scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
         if(op == ){
             n++;
             t[n].l = t[n].r = ;
             t[n].Max[] = t[n].Min[] = t[n].d[] = x;
             t[n].Max[] = t[n].Min[] = t[n].d[] = y;
             ins(rt, , n);
         }
         else{
             ans = inf;
             query(rt);
             printf("%lld\n", ans);
         }
     }
     return ;
 }

BZOJ3053

题意：k维坐标系下的最近的m个点。直接对于每一个询问都在kdtree中询问m次最近点，每次找到一个最近点对需要把它记录下来，用堆维护即可。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 #define mp make_pair

 using namespace std;
 #define N 50010
 const ll inf = 1e18;
 int n,m,k,i,id[N],root,cmp_d,rt;
 int x, y, num;
 struct node{int d[],l,r,Max[],Min[],val,sum,f;}t[N];
 bool cmp(const node&a,const node&b){return a.d[cmp_d]<b.d[cmp_d];}
 void umax(int&a,int b){if(a<b)a=b;}
 void umin(int&a,int b){if(a>b)a=b;}
 void up(int x){
     for(int i = ; i < k; i++){
         if(t[x].l){
             umax(t[x].Max[i],t[t[x].l].Max[i]);
             umin(t[x].Min[i],t[t[x].l].Min[i]);
         }
         if(t[x].r){
             umax(t[x].Max[i],t[t[x].r].Max[i]);
             umin(t[x].Min[i],t[t[x].r].Min[i]);
         }
     }
 }
 int build(int l,int r,int D,int f){
     int mid=(l+r)>>;
     cmp_d=D,std::nth_element(t+l,t+mid,t+r+,cmp);
     id[t[mid].f]=mid;
     t[mid].f=f;
     for(int i = ; i < k; i++)
     t[mid].Max[i]=t[mid].Min[i]=t[mid].d[i];
     //t[mid].Max[1]=t[mid].Min[1]=t[mid].d[1];
     //t[mid].val=t[mid].sum=0;
     if(l!=mid)t[mid].l=build(l,mid-,(D+)%k,mid);else t[mid].l=;
     if(r!=mid)t[mid].r=build(mid+,r,(D+)%k,mid);else t[mid].r=;
     return up(mid),mid;
 }
 int qx[];
 ll dis(int p){//估价函数, 以p为子树的最小距离
     ll ret = , ans = ;
     for(int i = ; i < k; i++) {
         ret = ;
         if(t[p].Max[i] < qx[i]) ret = qx[i]-t[p].Max[i];
         if(t[p].Min[i] > qx[i]) ret = t[p].Min[i]-qx[i];
         ans += ret*ret;
     }
     return ans;
 }
 ll getdis(int p){
     ll ans = ;
     for(int i = ; i < k; i++)
         ans += (qx[i]-t[p].d[i])*(qx[i]-t[p].d[i]);
     return ans;
 }
 void ins(int now, int k, int x){
     if(t[x].d[k] >= t[now].d[k]){
         if(t[now].r) ins(t[now].r, !k, x);
         else
             t[now].r = x, t[x].f = now;
     }
     else {
         if(t[now].l) ins(t[now].l, !k, x);
         else t[now].l = x, t[x].f = now;
     }
     up(now);
 }
 ll ret;
 multiset< pair<int, int> > ans;
 void query(int p){
     ll dl = inf, dr = inf, d = getdis(p);
     ans.insert( mp((int)d, p) );
     if(ans.size() > num){
         multiset< pair<int, int> >::iterator it = ans.end();
         it--;
         ans.erase(it);
     }
     ret = (*ans.rbegin()).first;
     if(t[p].l) dl = dis(t[p].l);
     if(t[p].r) dr = dis(t[p].r);
     if(dl < dr){
         if(dl < ret||ans.size() < num) query(t[p].l);
         if(dr < ret||ans.size() < num) query(t[p].r);
     }
     else {
         if(dr < ret||ans.size() < num) query(t[p].r);
         if(dl < ret||ans.size() < num) query(t[p].l);
     }
 }

 int main(){
     while(~scanf("%d%d", &n, &k)){
         for(int i = ; i <= n; i++){
             for(int j = ; j < k; j++)
                 scanf("%d", &t[i].d[j]);
         }
         rt = build(, n, , );
         scanf("%d", &m);
         while(m--){
             for(int i = ; i < k; i++)
                 scanf("%d", qx+i);
             scanf("%d", &num);
             ans.clear();
             query(rt);
             printf ("the closest %d points are:\n", num);
             for(multiset< pair<int, int> >::iterator it = ans.begin(); it != ans.end(); it++){
                 int pos = (*it).second;
                 for(int i = ; i < k; i++)
                     printf("%d%c", t[pos].d[i], " \n"[i == k-]);
             }
         }
     }
     return ;
 }