O、Ω、Θ表示

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对于任何数学函数，这三个记号可以用来度量其“渐近表现”，即当趋于无穷大时的阶的情况，这是算法分析中非常重要的概念。大家可以把它们分别想象成≤、≥和，分别估计了函数的渐近上界、渐近下界和准确界。诚然，渐近关系和确切大小关系是有区别的，但当问题规模很大时，忽略这种区别能大大降低算法分析的难度。

下面我们就来具体定义这三种记号的表示。

设函数f ( n )代表某一算法在输入大小为n的情况下的工作量（效率），则在n趋向很大的时候，我们将f (n)与另一行为已知的函数g(n)进行比较：

1）如果lim f(n)/g(n)=0，则称f (n)在数量级上严格小于g(n)，记为f (n)=o( g(n))。

2）如果lim f(n)/g(n)=∞，则称f (n)在数量级上严格大于g(n)，记为f (n)=( ( g(n))。

3）如果lim f(n)/g(n)=c，这里c为非0常数，则称f (n)在数量级上等于g(n)，即f (n)和g(n)是同一个数量级的函数，记为：f (n)=Θ( g(n))。

4）如果f (n)在数量级上小于或等于g(n)，则记为f (n)=O( g(n))。

5）如果f(n)在数量级上大于或等于g(n)，则记为f (n)=Ω( g(n))。

一个值得提醒的问题是，根据定义，对于任意一个g (n)函数来说，可能存在很多个函数f (n)，使得f (n)=O(g(n))，即O(g(n))表示的实际上是一个函数的集合，这里的等于也不是普通意义上的等于，而是说明f (n)是函数集合o(g(n))里的一员，即f (n)=O(g(n))并不意味着f (n)等于O(g(n))。等于号的这种使用令那些严谨的科学家非常不快甚至愤怒，但计算机界人士很喜欢这种马虎的表示。不过，我们在心里应该知道，f (n)=O(g(n))并不意味着f (n)≠O(g(n))。不然，我们就被自己骗了！

等号在其他渐近表示中的使用也可以同样解释。