【NOI2013】快餐店 环套树+线段树

题目大意：给你一颗环套树，你要在这棵的边上（包括端点）找一个点，使得离该点最远的点最近。

数据范围：$n≤10^5$，边权$≤10^9$。

此题不难看出一种暴力做法，我们依次断开环上的一条边，然后求整颗树的直径，取个$min$就好了，时间复杂度是$O(n^2)$的。

然而显然会$T$，我们考虑一些优秀的做法，我们首先将环拆成链，将链倍长（通用套路），然后将环上的点重新编号一下，设环上点的个数为$m$。

如果我们去掉了这个环，原图会变成森林，对于森林中的每一棵树，我们都先求一下它的直径。

令$D_i$表示以环上第$i$个点为根的子树内，与$i$号点距离最大的点与$i$号点间的距离。

令$S_i$表示环上第$i$个点距离环上第一个点的距离（此处的i可以从$1$取到$2m$）。

那么，对于环上两点$(i,j)$，由$i$为根子树，$j$为根子树，还有i至j的链构成的树的直径为$D_i+D_j-S_i+S_j$。

移项后有$(D_i-S_i)+(D_j+S_j)$。

我们用线段树维护这个东西就可以了，（我的线段树写得有点挫，应该有更高效的编码方法）

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 200005
 #define L long long
 #define INF (1LL<<60)
 #define mid ((a[x].l+a[x].r)/2)
 using namespace std;

 struct edge{L u,v,next;}e[M*]={}; L head[M]={},use=;
 void add(L x,L y,L z){use++;e[use].u=y;e[use].v=z;e[use].next=head[x];head[x]=use;}

 struct node{L l,r;L tag,tag2,mx,mx2,ans;}a[M<<]={};
 void build(L x,L l,L r){
     a[x].l=l; a[x].r=r; a[x].ans=a[x].mx=a[x].mx2=-INF; if(l==r) return;
     build(x<<,l,mid); build(x<<|,mid+,r);
 }
 void upd(L x,L k){
     a[x].tag+=k; a[x].mx+=k;
     if(a[x].l!=a[x].r) a[x].ans=max(max(a[x<<].mx+a[x<<|].mx2,a[x<<].mx2+a[x<<|].mx),max(a[x<<].ans,a[x<<|].ans));
 }
 void upd2(L x,L k){
     a[x].tag2+=k; a[x].mx2+=k;
     if(a[x].l!=a[x].r) a[x].ans=max(max(a[x<<].mx+a[x<<|].mx2,a[x<<].mx2+a[x<<|].mx),max(a[x<<].ans,a[x<<|].ans));
 }
 void pushdown(L x){
     if(a[x].tag!=) upd(x<<,a[x].tag),upd(x<<|,a[x].tag); a[x].tag=;
     if(a[x].tag2!=) upd2(x<<,a[x].tag2),upd2(x<<|,a[x].tag2); a[x].tag2=;
 }
 void pushup(L x){
     a[x].mx=max(a[x<<].mx,a[x<<|].mx);
     a[x].mx2=max(a[x<<].mx2,a[x<<|].mx2);
     a[x].ans=max(max(a[x<<].mx+a[x<<|].mx2,a[x<<].mx2+a[x<<|].mx),max(a[x<<].ans,a[x<<|].ans));
 }
 void updata(L x,L l,L r,L k){
     if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r) return upd(x,k);
     pushdown(x);
     if(l<=mid) updata(x<<,l,r,k);
     if(mid<r) updata(x<<|,l,r,k);
     pushup(x);
 }
 void updata(L x,L k,L val){
     if(a[x].l==a[x].r){a[x].tag=; a[x].mx=val; return;}
     pushdown(x);
     if(k<=mid) updata(x<<,k,val);
     else updata(x<<|,k,val);
     pushup(x);
 }
 void updata2(L x,L l,L r,L k){
     if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r) return upd2(x,k);
     pushdown(x);
     if(l<=mid) updata2(x<<,l,r,k);
     if(mid<r) updata2(x<<|,l,r,k);
     pushup(x);
 }
 void updata2(L x,L k,L val){
     if(a[x].l==a[x].r){a[x].tag2=; a[x].mx2=val; return;}
     pushdown(x);
     if(k<=mid) updata2(x<<,k,val);
     else updata2(x<<|,k,val);
     pushup(x);
 }

 L cir[M]={},vis[M]={},n,m=; stack<int> st;
 bool getcir(L x,L fa){
     if(vis[x]){
         for(L now=st.top();now!=x;st.pop(),now=st.top()){
             cir[++m]=now;
         }
         cir[++m]=x;
         return ;
     }
     st.push(x); vis[x]=;
     for(L i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
         if(getcir(e[i].u,x)) return ;
     }
     st.pop();
     return ;
 }

 void init(){
     scanf("%lld",&n);
     for(L i=;i<=n;i++){
         L x,y,z; scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
         add(x,y,z); add(y,x,z);
     }
 }

 L d[M]={},s[M]={},ans=;
 L dfs(L x,L fa){
     L max1=,max2=;
     for(L i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa){
         L k=dfs(e[i].u,x)+e[i].v;
         if(k>max1) max2=max1,max1=k;
         else if(k>max2) max2=k;
     }
     ans=max(ans,max1+max2);
     return max1;
 }
 void getmax(){
     for(L x=;x<=m;x++) cir[x+m]=cir[x];
     cir[]=cir[m]; cir[m*+]=cir[];
     for(L x=;x<=m;x++){
         L max1=,max2=;
         for(L i=head[cir[x]];i;i=e[i].next)
         if(e[i].u!=cir[x-]&&e[i].u!=cir[x+]){
             L k=dfs(e[i].u,cir[x])+e[i].v;
             if(k>max1) max2=max1,max1=k;
             else if(k>max2) max2=k;
         }
         ans=max(ans,max1+max2);
         d[x]=max1;
     }

     for(L x=;x<=*m;x++){
         L u=cir[x];
         for(L i=head[u];i;i=e[i].next)
         if(e[i].u==cir[x+]) s[x]=e[i].v;
     }
 }

 void work(){
     L minn=,S=;
     for(L i=;i<=m;i++){
         S+=s[i-];
         updata2(,i,S+d[i]);
         minn=max(minn,a[].ans);
         updata(,i,d[i]-S);
     }
     for(L i=;i<=m;i++){
         updata(,,m,s[i]);
         updata(,i,-INF);
         updata2(,,m,-s[i]);
         updata2(,i,-INF);
         S-=s[i];
         S+=s[i+m-];
         updata2(,i,S+d[i]);
         minn=min(minn,a[].ans);
         updata(,i,d[i]-S);
     }
     ans=max(ans,minn);
 }

 main(){
     init();
     getcir(,);
     build(,,m);
     getmax();
     work();
     double hh=ans; hh/=;
     printf("%.1lf\n",hh);
 }