2018.07.10NOIP模拟 Knapsack（单调队列优化dp）

Knapsack

题目背景

SOURCE：NOIP2016-RZZ-4 T2

题目描述

有 n 个物品，第 i 个物品的重量为 ai 。

设 f(i,j,k,l,m) 为满足以下约束的物品集合数量：

集合中所有物品的重量和恰好为 m 。

集合包含物品 i 和物品 j 。

集合不包含物品 k 和物品 l 。

给出一个正整数 s ，求：

答案对 10^9+7 取模。

输入格式

第一行，两个正整数 n，s 。

第二行，n 个正整数 ai，描述每个物品的重量。

输出格式

输出一行，一个整数表示答案对 10^9+7 取模后的结果。

样例数据 1

输入

4 4

1 2 3 4

输出

8

备注

【数据规模与约定】

对于 30% 的数据，n,s≤10。

对于另 20% 的数据，ai=1。

对于 80% 的数据，n,s≤100。

对于 100% 的数据，n,s≤1000。

考场上并没有看出来是一道背包，然后写了30" role="presentation" style="position: relative;">3030分的搜索和20" role="presentation" style="position: relative;">2020分的数学，结果数学的公式推错了233，30" role="presentation" style="position: relative;">3030分滚粗 。

刚刚已经说了，正解是背包。这道题最烦的就是i,j,k,l" role="presentation" style="position: relative;">i,j,k,li,j,k,l的限制条件，如果这个处理好了就没什么问题了。好吧其实限制条件很好办。

多加四维来表示i,j,k,l" role="presentation" style="position: relative;">i,j,k,li,j,k,l的状态？可以，但想想码量真是可怕。

于是我们将四维压成二维，用二维表示必须选的和必须不选的选取数量，然后背包就做完了。

等等，好像还有点问题，这样子过不了样例啊？

好吧这道题说的数对是有序数对，答案还要乘四。

30" role="presentation" style="position: relative;">3030分代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define N 1005
using namespace std;
inline ll read(){
    ll ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return ans;
}
ll n,s,a[1005],ans,cnt[10000];
inline void dfs(ll pos,ll c1,ll c2,ll sum,ll now){
    if(sum>s)return;
    if(pos==n+1){
        if(c1>=2&&c2>=2&&sum)++cnt[now];
        return;
    }
    dfs(pos+1,c1,c2+1,sum+a[pos],now+(1<<(pos-1)));
    dfs(pos+1,c1+1,c2,sum,now);
}
inline ll sol(ll x){
    ll tot[2]={0};
    while(x){
        ++tot[x&1];
        x>>=1;
    }
    tot[0]=n-tot[1];
    return (tot[0]*(tot[0]-1)>>1)%mod*(tot[1]*(tot[1]-1)>>1%mod)%mod;
}
int main(){
//  freopen("knapsack.in","r",stdin);
//  freopen("knapsack.out","w",stdout);
    ans=0,n=read(),s=read();
    for(ll i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    sort(a+1,a+n+1);
    dfs(1ll,0ll,0ll,0ll,0ll);
    for(ll i=1;i<=(1<<n);++i)if(cnt[i])ans+=sol(i),ans%=mod;
    printf("%lld",ans<<2%mod);
    return 0;
}

满分代码（滚动数组优化）：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define S 2005
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return ans;
}
ll n,s,f[S][3][3],g[S][3][3],ans=0;
int main(){
    n=read(),s=read();
    f[0][0][0]=g[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ll x=read();
        for(int j=0;j<=s;++j){
            for(int k=0;k<=2;++k)
                for(int l=0;l<=2;++l){
                    if(!f[j][k][l])continue;
                    if(j<=s-x){
                        g[j+x][k][l]=g[j+x][k][l]+f[j][k][l];
                        if(g[j+x][k][l]>=mod)g[j+x][k][l]-=mod;
                        if(k!=2){
                            g[j+x][k+1][l]=g[j+x][k+1][l]+f[j][k][l];
                            if(g[j+x][k+1][l]>=mod)g[j+x][k+1][l]-=mod;
                        }
                    }
                    if(l!=2){
                        g[j][k][l+1]=g[j][k][l+1]+f[j][k][l];
                        if(g[j][k][l+1]>=mod)g[j][k][l+1]-=mod;
                    }
                }
        }
        for(int j=0;j<=s;++j)
            for(int k=0;k<=2;++k)
                for(int l=0;l<=2;++l)
                    f[j][k][l]=g[j][k][l];
    }
    for(int i=1;i<=s;++i){
        ans+=f[i][2][2];
        if(ans>=mod)ans-=mod;
    }
    printf("%lld",(ans<<2)%mod);
    return 0;
}