【洛谷十月月测】 P3927 SAC E#1 - 一道中档题 Factorial

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3927

题目大意：给你两个正整数n,k，求n!在k进制下末尾零的数量。

我们通过简单的数学分析，便可以发现，n！可以化为x*k^y（x,y∈N），而末尾零的数量，正是y。

经过进一步化简，$n! = x*\prod_{1}^{d(k)}d_{i}*y_{i}$，其中$d_{i}$为k的素因子，此处d(k)表示k的素因子个数，在已知d的情况下，求$y$并不复杂。

同时，我们也可以将k也化为这个格式，$k = *\prod_{1}^{d(k)}d_{i}*y'_{i}$。

通过进一步的归纳，我们发现：末尾零的数量为$min(\left \lfloor  y_{i}/y'_{i}    \right \rfloor)$。此题我们只需要求出$d_{i}$,随后求出$y_{i}$和$y‘_{i}$，最后简单计算即可得出答案。

考虑到$k≤10^{12}$，如果用常规的方法进行分解质因数求出所有$d_{i}$显然不行，于是我们用pollard_rho进行分解质因数即可。

如果你不知道什么是pollard_rho，传送门：http://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45459533

时间复杂度为$O(k^{0.25}*log(n)*d(k))$

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #define L long long
 #include<algorithm>
 #include<map>
 using namespace std;
 L gcd(L x,L y){return y==?x:gcd(y,x%y);}
 L mul(L x,L y,L MOD){
     L ans=;
     while(y){
         if(y&) ans=(ans+x)%MOD;
         y=y>>; x=(x<<)%MOD;
     }
     return ans;
 }
 bool pow(L x,L y,L MOD){
     L ans=;
     while(y){
         if(y&) ans=mul(ans,x,MOD);
         y=y>>; x=mul(x,x,MOD);
     }
     return ans!=;
 }
 bool check(L n){
     if(n==) return ; if(n<||n%==) return ;
     int t=; while(t--) if(pow(+rand()%(n-),n-,n)) return ;
     return ;
 }
 L pollard_rho(L n,L c){
     L x=+rand()%(n-),y=x,k=;
     for(int i=;;i++){
         x=(mul(x,x,n)+c)%n;
         L d=gcd((y-x+n)%n,n);
         if(d>) return d;
         if(x==y) return n;
         if(i==k) y=x,k<<=;
     }
 }
 map<L,int> m;
 void find(L n,L c){
     if(n==) return;
     if(check(n)){m[n]++; return;}
     L p=n; while(p>=n) p=pollard_rho(n,c--);
     find(p,c); find(n/p,c);
 }
 L get(L n,L d){
     L ans=;
     while(n) ans+=n/d,n=n/d;
     return ans;
 }

 int main(){
     L n,k,minn=1e18; cin>>n>>k; find(k,);
     for(map<L,int>:: iterator it=m.begin();it!=m.end();it++){
         L num=it->first,sum=it->second;
         minn=min(minn,get(n,num)/sum);
     }
     cout<<minn<<endl;
 }