T48566 【zzy】yyy点餐

题目描述

yyy去麦肯士吃垃圾食品。

麦肯士有n种单点餐品（汉堡薯条鸡翅之类的）。每次选择一种或者以上的餐点，且每种餐点不多于一个的话，可以认为是购买套餐。购买一个套餐，价格是单品价格的总和（真黑啊），但是可以送一个玩具，yyy最喜欢麦肯士的玩具了。不过有规定即使多次购买同一种套餐（也就是里面的餐点的种类和数量完全一样）也只能获得一个玩具。

yyy为了收集尽可能多的玩具，需要买尽可能多种的套餐。请问如果想要收集到最多的玩具数量，至少要花掉多少钱？由于yyy是个土豪，所以我们需要输出ans mod 998244353的结果。

说明

【样例解释】

1 / 2 / 3 / 4 / 5

12 / 13 / 14 / 15

23 / 24 / 25

34 / 35 / 45/

123 / 124 / 125 / 134 / 135 / 145

234 / 235 / 245

345

1234 / 1235 / 1245 / 1345 / 2345

12345

1≤n≤1000000

错误日志：输出的时候忘记模了QAQ

Solution

设 $tot$ 为所有单点餐品的总花费和

显然当套餐内单品数量为 $k$ 时，这一组套餐总共会花费 $C_{n}^{k} * k * tot * \frac{1}{n}$

那么总答案即为：

\[ans = tot * \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k
\]

组合数可以用二项式定理展开求得，难搞的是每一项要乘个 $k$

于是尝试把 $k$ 弄出来

\[\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k$$$$=\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k + 0$$$$=\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k + C_{n}^{1} * 0$$$$=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k} * k
\]

通式不好说明，以 $n = 5$ 为例：

\[\sum_{k = 0}^{5}C_{5}^{k} * k$$$$= C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{5} * 5$$$$=\frac{1}{2}(C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{5} * 5)$$$$=\frac{1}{2}(C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{4} * 4 + ... + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{0} * 0)$$$$=\frac{1}{2} * 5\sum_{k = 0}^{5}C_{5}^{k}
\]

将此式带入总答案式，用通式加二项式定理表达为：

\[ans = tot * \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k} * k$$$$=tot * \frac{1}{n} * \frac{1}{2} * n\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}$$$$ = tot * \frac{1}{2} * 2^{n}$$$$=tot * 2^{n - 1}
\]

快速幂即可

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<queue>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<climits>

#define LL long long

#define REP(i, x, y) for(LL i = (x);i <= (y);i++)

using namespace std;

LL RD(){

    LL out = 0,flag = 1;char c = getchar();

    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}

    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}

    return flag * out;

    }

const LL M = 998244353;

LL num, tot;

LL Q_pow(LL a, LL p, LL mod){

	LL ret = 1;

	while(p){

		if(p & 1)ret = ret * a % mod;

		a = a * a % mod;

		p >>= 1;

		}

	return ret;

	}

int main(){

	num = RD();

	REP(i, 1, num)tot = (tot + RD()) % M;

	printf("%lld\n", tot * Q_pow(2, num - 1, M) % M);

	return 0;

	}