UVA1386 【Cellular Automaton】题解

题面：UVA1386 Cellular Automaton

矩阵乘法+快速幂解法：

这是一个比较裸的有点复杂需要优化的矩乘快速幂，所以推荐大家先做一下下列洛谷题目练练手：

（会了，差不多就是多倍经验题了）

注：如果你还不会矩阵乘法，可以移步了解一下P3390的题解

P1939 【模板】矩阵加速（数列）

P3390 【模板】矩阵快速幂

P1962 斐波那契数列

P4910 帕秋莉的手环

P4838 P哥破解密码

然后讲一下本题，读题我们发现这个环上所进行的 k 次操作都是一模一样的，还是相邻的数的和，于是想到用矩阵快速幂来写。

解题思路：

我们可以根据 d 的值来建出基础矩阵，举个例子（样例）：

					1 1 0 0 1
					1 1 1 0 0
					0 1 1 1 0
					0 0 1 1 1
					1 0 0 1 1

这是样例每一次操作所对应的乘法矩阵。我们要求出 k 次操作后的环上的元素等同于乘以 k 次这个矩阵，而这个过程可以直接用快速幂优化成log复杂度。

于是我们便可以光明正大的提交，然后光荣 TLE 了

为什么呢？我们看到数据范围：$ n \leq 500 $ ！众所周知：矩阵乘法中矩阵上每一个元素都会被用行乘列的方式更新，所以复杂度为 \(n^3\),在乘上快速幂的一个log n ，不TLE才怪！

优化方案：

于是我们尝试优化一下(把那个 $ n^3 $ 降到 $ n^2 $ )：我们再看到上面样例的矩阵，可以发现它的下一行等于上一行所有的 1 向右移一位。所以我们进行矩阵乘法时可以不更新矩阵的每一个位置，而是只更新它的第一行（将它压缩一下）其它几行可以通过第一行推出来。

例如：

					0 2 1 1 2

我们可以通过这一行推出整个矩阵（向右移一位）：

					0 2 1 1 2
					2 0 2 1 1
					1 2 0 2 1
					1 1 2 0 2
					2 1 1 2 0

于是乎，我们写一个新的”矩阵乘法“代码如下：

void cheng(ll a[],ll b[]){
    for(int i=1;i<=n;i++)//预处理 1
        res[i]=0,s[1][i]=b[i];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        s[i][1]=s[i-1][n];
        for(int j=2;j<=n;j++)
            s[i][j]=s[i-1][j-1];
    }// 解压一维矩阵，复杂度不会变回 n^3！
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
            res[i]+=(a[k]*s[i][k])%m,res[i]%=m;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=res[i];
}// 本题专用“矩阵乘法”
//请不要直接给a数组赋值，不然后果自负！

然后在用快速幂优化一下：

while(k){
			if(k&1)cheng(ans,base);
			cheng(base,base);
			k>>=1;
		}

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>

#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff

using namespace std;

const int l=501;
int n,m,d,k;
ll s[l][l];
ll ans[l],base[l],res[l];
// ans=(answer),base(基础矩阵),res=(result)
// s数组是用来解压矩阵的（将一维矩阵换成二维）

inline ll qr(){
    char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
    ll res=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);
    return res;
}

void cheng(ll a[],ll b[]){
    for(int i=1;i<=n;i++)//预处理 1
        res[i]=0,s[1][i]=b[i];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        s[i][1]=s[i-1][n];
        for(int j=2;j<=n;j++)
            s[i][j]=s[i-1][j-1];
    }// 解压一维矩阵，复杂度不会变回 n^3！
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
            res[i]+=(a[k]*s[i][k])%m,res[i]%=m;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=res[i];
}// 本题专用“矩阵乘法”
//请不要直接给a数组赋值，不然后果自负！

int main(){
    while(scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&d,&k)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++)//预处理 2
            ans[i]=qr(),base[i]=0;
        for(int i=0;i<=d;i++)//单位矩阵
            base[1+i]=base[(n-i)%n+1]=1;
        while(k){
            if(k&1)cheng(ans,base);
            cheng(base,base);
            k>>=1;
        }// 只有四行的快速幂
        for(int i=1;i<n;++i){
            printf("%lld ",ans[i]);
        }printf("%lld\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}

//预处理 1：将res数组归零，将b数组赋值给s数组第一维以便压缩

//预处理 2：给ans数组赋初值，将单位矩阵清零

注：解压矩阵会消耗很多时间，也可以不解压，但乘起来会有些麻烦（蒟蒻手残，就不压行了吧）。