一种3位sar adc工作过程推导（二）

3位sar adc采用下图的电容阵列，需要2³个电容，它的基本单元有二进制加权的电容阵列、1个与LSB电容等值的电容；它利用电容上的初始电荷再分配完成二进制搜索算法，因此功耗一般比较小，而且不需要额外的采样保持电路¹。

上一篇文章《一种4位sar adc工作过程推导（二）》讨论了两个参考电压V_refP和V_refN取值的一般情况，得出“此电路无法适用参考电压取值的一般情况，VrefN必须接gnd，才能逐次逼近比较的”的结论，随着对ADC理论的逐步学习，其实可以通过改变电路的结构和开关时序逻辑来满足参考电压V_refP和V_refN取值的一般情况。

下面针对前文《一种3位sar adc工作过程推导》提出的3位sar adc的电路结构进行稍微修改,修改后的电路如下图：所有电容的正端（也称为上极板）与比较器的同相端连接，比较器反相端接gnd，下面对其工作过程进行大致分析

两个参考电压$V_{refP}$和$V_{refN}$，$V_{-}=0$，假设$\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})<V_{in}<\frac{6}{8}(V_{refP}-V_{refN})$

分析过程：

step 0：采样阶段

$\phi_{1}$开关闭合，比较器同相端都接V_in；同时让电容负端都接参考电压V_refP

电容上存储的电荷量$Q=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C$

比较器同相端电压$V_{+}=V_{in}$

step 1：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

首先将开关$\phi_{1}$断开，电容4C的负端接V_refN，其余电容保持接V_refP不变

根据电容上的电荷量相等，可得

$\begin{aligned}
&(V_{+}-V_{refP})\cdot4C+(V_{+}-V_{refN})\cdot4C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C
\end{aligned}$

$\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})$

则

\[\begin{aligned}
V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})
\end{aligned}
\]

第1次：$V_{in}$与$\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})$两者进行比较，则比较器输出为高电平，即最高位D₂=1

step 2：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

因为最高位D₂=1，所以电容2C的负端接V_refN；电容4C的负端保持接V_refN

根据电容上的电荷量相等，可得

$\begin{aligned}
&(V_{+}-V_{refP})\cdot2C+(V_{+}-V_{refN})\cdot6C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C
\end{aligned}$

$\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})$

则

\[\begin{aligned}
V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})
\end{aligned}
\]

第2次：$V_{in}$与$\frac{3}{4}(V_{refP}-V_{refN})$两者进行比较，则比较器输出为低电平，即次高位D₁=0

step 3：电荷再分配阶段（电压比较阶段）

因为最高位D₂=1且次高位D₁=0，所以电容C的负端接V_refN；电容2C的负端接V_refP，电容4C的负端保持接V_refN

根据电容上的电荷量相等，可得

$\begin{aligned}
&(V_{+}-V_{refP})\cdot3C+(V_{+}-V_{refN})\cdot5C=(V_{in}-V_{refP})\cdot8C
\end{aligned}$

$\Rightarrow V_{+}=V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})$

则

\[\begin{aligned}
V_{+}-V_{-}&=V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})
\end{aligned}
\]

第3次：$V_{in}$与$\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})$两者进行比较，则比较器输出为高电平，即最低位D₀=1

所以3位sar adc输出数字码为D₂D₁D₀=101

小结

输入电压V_in首先与$\frac{1}{2}(V_{refP}-V_{refN})$进行比较，然后根据比较器输出结果（0或1）来选择下一个参考电压进行比较，当输出为1，则与$(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(V_{refP}-V_{refN})$进行比较；若输出为0，则与$(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})(V_{refP}-V_{refN})$进行比较，。依次类推，比较器输出结果就可以等效地控制参考电压的改变。

下图直观反映了3次比较的状态，令$V_{ref}=V_{refP}-V_{refN}$.

graph LR;
A0((1/2Vref))-.D2=1.-> A1((3/4Vref))
A0-.D2=0.-> A2((1/4Vref))

A1-.D1=1.-A3((7/8Vref))
A1-.D1=0.-A4((5/8Vref))
A2-.D1=1.-A5((3/8Vref))
A2-.D1=0.-A6((1/8Vref))

A3-.D0=1.-A23>输出:111]
A3-.D0=0.-A24>输出:110]
A4-.D0=1.-A25>输出:101]
A4-.D0=0.-A26>输出:100]
A5-.D0=1.-A27>输出:011]
A5-.D0=0.-A28>输出:010]
A6-.D0=1.-A29>输出:001]
A6-.D0=0.-A30>输出:000]

当采样阶段结束后，断开开关$\phi_{1}$，进入电荷再分配阶段，各个电容的负端（下极板）所接的电压值与比较器同相端电压$V_{+}$的关系如下表，从表中可以看出大致规律。

C	C	2C	4C	$V_{-}$
V_refP	V_refP	V_refP	V_refP	$V_{in}$
V_refP	V_refN	V_refP	V_refP	$V_{in}-\frac{1}{8}(V_{refP}-V_{refN})$
V_refP	V_refP	V_refN	V_refP	$V_{in}-\frac{2}{8}(V_{refP}-V_{refN})$
V_refP	V_refN	V_refN	V_refP	$V_{in}-\frac{3}{8}(V_{refP}-V_{refN})$
V_refP	V_refP	V_refP	V_refN	$V_{in}-\frac{4}{8}(V_{refP}-V_{refN})$
V_refP	V_refN	V_refP	V_refN	$V_{in}-\frac{5}{8}(V_{refP}-V_{refN})$
V_refP	V_refP	V_refN	V_refN	$V_{in}-\frac{6}{8}(V_{refP}-V_{refN})$
V_refP	V_refN	V_refN	V_refN	$V_{in}-\frac{7}{8}(V_{refP}-V_{refN})$

所以初步得出结论：这个sar adc电路可以满足参考电压V_refP和V_refN取值的一般情况。

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参考文献

- [1] 逐次逼近型ADC