Description(P4161)

windy学会了一种游戏。

对于1到N这N个数字,都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。

最开始windy把数字按顺序1,2,3,……,N写一排在纸上。

然后再在这一排下面写上它们对应的数字。

然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。

如此反复,直到序列再次变为1,2,3,……,N。

如: 1 2 3 4 5 6

对应的关系为

1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6

windy的操作如下

1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 4 6

3 1 2 4 5 6

1 2 3 5 4 6

2 3 1 4 5 6

3 1 2 5 4 6

1 2 3 4 5 6

这时,我们就有若干排1到N的排列,上例中有7排。

现在windy想知道,对于所有可能的对应关系,有多少种可能的排数。

Description(P6280)

Farmer John(又)想到了一个新的奶牛晨练方案!
如同之前,Farmer John 的 $N$ 头奶牛站成一排。对于$1\leq i \leq N$的每一个 $i$,从左往右第 $i$ 头奶牛的编号为 $i$。他告诉她们重复以下步骤,直到奶牛们与她们开始时的顺序相同。

给定长为 $N$ 的一个排列 $A$,奶牛们改变她们的顺序,使得在改变之前从左往右第 $i$ 头奶牛在改变之后为从左往右第 $A_i​$ 头。
例如,如果 $A=(1,2,3,4,5)$,那么奶牛们总共进行一步。如果 $A=(2,3,1,5,4)$,那么奶牛们总共进行六步。每步之后奶牛们从左往右的顺序如下:

0 步:$(1,2,3,4,5)$
1 步:$(3,1,2,5,4)$
2 步:$(2,3,1,4,5)$
3 步:$(1,2,3,5,4)$
4 步:$(3,1,2,4,5)$
5 步:$(2,3,1,5,4)$
6 步:$(1,2,3,4,5)$
求所有正整数 $K$ 的和,使得存在一个长为 $N$ 的排列,奶牛们需要进行恰好 $K$ 步。

由于这个数字可能非常大,输出答案模 $M$ 的余数($10^8 \leq M \leq 10^9+7$,$M$ 是质数)。

Solution

两个问题,一个解法

两题的题目表述都表明题中给出的数的对应关系形成了一张图,这张图由多个环组成,可能有自环,环长之和为$N$

最终的答案分别是每个环长的$lcm$个数/和

对于一列数的$lcm$,等于这列数质因数分解后每个质数对应的最高次之积

所以现在要求将$N$分解,为了使分解后的数能组成更多种$lcm$,最优的选择应是让这列数互质

因为有可能分解出$1$,所以对于分解出$1$的个数不同,依次拆分$[1,N]$中所有数,输出它们的答案之和

考虑枚举质数

设$f_{i,j}$表示在前$i$个质数中,拆分数$j$所能得到的$lcm$个数/和

对于P4161:

$$f_{i,j}=\sum_{k=0}^{j\geq p_{i}^k} dp_{i-1,j-p_{i}^k}$$

对于P6280:

$$f_{i,j}=\sum_{k=0}^{j\geq p_{i}^k} dp_{i-1,j-p_{i}^k}\times p_{i}^k$$

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,tot,prime[];
long long dp[],ans;
bool vst[];
inline int read()
{
int w=,f=;
char ch=;
while(ch<''||ch>'')
{
if(ch=='-')
f=-;
ch=getchar();
}
while(ch>=''&&ch<='')
{
w=(w<<)+(w<<)+ch-'';
ch=getchar();
}
return w*f;
}
int main()
{
n=read();
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(!vst[i])
{
prime[++tot]=i;
}
for(int j=;j<=tot&&prime[j]*i<=n;j++)
{
vst[prime[j]*i]=true;
if(!(i%prime[j]))
{
break;
}
}
}
dp[]=;
for(int i=;i<=tot;i++)
{
for(int j=n;j>=prime[i];j--)
{
int temp=prime[i];
while(j>=temp)
{
dp[j]+=dp[j-temp];
temp*=prime[i];
}
}
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
ans+=dp[i];
}
printf("%lld\n",ans+);
return ;
}

游戏

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,tot,prime[],mod;
long long dp[],ans;
bool vst[];
inline long long read()
{
long long w=,f=;
char ch=;
while(ch<''||ch>'')
{
if(ch=='-')
f=-;
ch=getchar();
}
while(ch>=''&&ch<='')
{
w=(w<<)+(w<<)+ch-'';
ch=getchar();
}
return w*f;
}
int main()
{
n=read();
mod=read();
for(long long i=;i<=n;i++)
{
if(!vst[i])
{
prime[++tot]=i;
}
for(long long j=;j<=tot&&prime[j]*i<=n;j++)
{
vst[prime[j]*i]=true;
if(!(i%prime[j]))
{
break;
}
}
}
dp[]=;
for(long long i=;i<=tot;i++)
{
for(long long j=n;j>=prime[i];j--)
{
long long temp=prime[i];
while(j>=temp)
{
(dp[j]+=dp[j-temp]*temp)%=mod;
temp*=prime[i];
}
}
}
for(long long i=;i<=n;i++)
{
(ans+=dp[i])%mod;
}
printf("%lld\n",(ans+)%mod);
return ;
}

Exercise G

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