【题解】小M的作物

题目戳我

\(\text{Solution:}\)

这题要求最大收获，可以转化为所有可能的收益减去最小割。

单个点很好连边 \((S\to pos\to T),\) 问题在于如何处理组合的点。

观察到，一个组合要不然全部都划分到某一个集合，要不然不做贡献。注意到组合里面的点是不能拆开的。

所以我们建立一个组合虚点，它连接所有组合内的点，边权是 \(\infty.\) 这样就一定可以避免把它们划分到不同集合中。

那么，我们可以考虑如下建模模型：

\(\text{S}\to \text{compose} \to \text{everypoints in this group} \to \text{compose endpoint} \to \text{T}.\)

本题我们可以把 \(A\) 看作 \(S,T\) 同理。

于是这个题再套上我们最熟悉的\(\text{Dinic}\)模板就过了。

最后来分析一下这个图的规模：

首先，所有点都应该有一个对应点，再加上每一个集合的开始点和结束点，共\(n+m+m\)个。最大是\(3000.\)

对于边：每个点对源点和汇点都会连边，这里是\(n+n.\)每一个组合，其边数是组合中的点数的两倍，共约为\(n+n+2mk.\)最大数据是\(2*10^6+2000.\)

根据\(Dinic\)的复杂度\(O(n^2 m)\)这个数量级显然会炸，但是出题人毕竟一定会让\(Dinic\)过，以及\(Dinic\)复杂度跑不满的原因，这个算法是可以过的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=(1<<30);
const int MAXN=2e6+10;
int tot=1,head[MAXN];
int dep[MAXN],cur[MAXN];
int n,a[MAXN],b[MAXN],m;
int Ans,c1[MAXN],c2[MAXN],S,T;
vector<int>v[MAXN];
struct E{int nxt,to,flow;}e[MAXN];
inline void add(int x,int y,int w){
	e[++tot].to=y;e[tot].nxt=head[x];
	e[tot].flow=w;head[x]=tot;
	e[++tot].to=x;e[tot].nxt=head[y];
	e[tot].flow=0;head[y]=tot;
}
bool bfs(int s,int t){
	memset(dep,0,sizeof dep);
	cur[s]=head[s];dep[s]=1;
	queue<int>q;q.push(s);
	while(!q.empty()){
		s=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[s];i;i=e[i].nxt){
			int j=e[i].to;
			if(!dep[j]&&e[i].flow){
				cur[j]=head[j];
				dep[j]=dep[s]+1;
				if(j==t)return true;
				q.push(j);
			}
		}
	}
	return false;
}
int dfs(int s,int flow,int t){
	if(flow<=0||s==t)return flow;
	int rest=flow;
	for(int i=cur[s];i;i=e[i].nxt){
		int j=e[i].to;
		if(dep[j]==dep[s]+1&&e[i].flow){
			int tmp=dfs(j,min(rest,e[i].flow),t);
			if(tmp<=0)dep[j]=0;
			rest-=tmp;e[i].flow-=tmp;e[i^1].flow+=tmp;
			if(rest<=0)break;
		}
	}
	return flow-rest;
}
int dinic(int s,int t){
	int ans=0;
	for(;bfs(s,t);)ans+=dfs(s,inf,t);
	return ans;
}
void Deal(){
	S=0,T=n+m+m+1;
	for(int i=1;i<=n;++i)add(S,i,a[i]),add(i,T,b[i]);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int pos=i+n;add(S,pos,c1[i]);
		int posend=i+n+m;
		for(int j=0;j<(int)v[i].size();++j)
			add(pos,v[i][j],inf),add(v[i][j],posend,inf);
		add(posend,T,c2[i]);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",a+i),Ans+=a[i];
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",b+i),Ans+=b[i];
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1,k;i<=m;++i){
		scanf("%d",&k);
		scanf("%d%d",&c1[i],&c2[i]);
		Ans+=c1[i];Ans+=c2[i];
		for(int j=1,x;j<=k;++j){
			scanf("%d",&x);
			v[i].push_back(x);
		}
	}
	Deal();
	printf("%d\n",Ans-dinic(S,T));
	return 0;
}